Calcule os limites abaixo: \lim _{x \rightarrow-2} \frac{8+x^{3}}{4-x^{2}}
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule o limite
\lim_{x\to -2}\frac{8+x^{3}}{4-x^{2}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
A expressão cuja limite devemos calcular é \frac{8+x^{3}}{4-x^{2}}.
O ponto de interesse é x\to -2.
Devemos determinar o valor numérico desse limite (se existir).
Passo 2
Primeiro teste: tentar a substituição direta para ver se a expressão é contínua naquele ponto. Calculando numerador e denominador em x=-2:
8+(-2)^{3} = 8-8 = 0,
4-(-2)^{2} = 4-4 = 0.
Obtemos a forma \frac{0}{0}, que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas por substituição — precisamos manipular a expressão algebricamente para remover a indeterminação. Vou te ensinar como fazer isso passo a passo (é a parte boa: é só fatorar e simplificar).
Passo 3
Vamos fatorar o numerador e o denominador. Para o numerador usamos a fórmula da soma de cubos:
\text{Se } a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}).
Aplicando com a=x e b=2, temos a fatoração
x^{3}+8 = (x+2)\big(x^{2}-2x+4\big).
Para o denominador usamos diferença de quadrados:
4-x^{2} = (2-x)(2+x).
Como 2+x = x+2, podemos escrever
4-x^{2} = (2-x)(x+2).
Passo 4
Agora substituímos as fatorações na fração original:
Com a forma simplificada podemos agora aplicar a substituição direta, porque a nova expressão é contínua em x=-2. Avaliando numerador e denominador em x=-2:
Comentário rápido para reforçar: outra maneira (mais “calculeiro”) seria aplicar a regra de L’Hôpital, diferenciando numerador e denominador (porque tínhamos 0/0); isso também daria