Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow-2} \frac{8+x^{3}}{4-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o limite
\lim_{x\to -2}\frac{8+x^{3}}{4-x^{2}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão cuja limite devemos calcular é \frac{8+x^{3}}{4-x^{2}}.
  • O ponto de interesse é x\to -2.
  • Devemos determinar o valor numérico desse limite (se existir).

Passo 2

Primeiro teste: tentar a substituição direta para ver se a expressão é contínua naquele ponto. Calculando numerador e denominador em x=-2:
8+(-2)^{3} = 8-8 = 0,
4-(-2)^{2} = 4-4 = 0.
Obtemos a forma \frac{0}{0}, que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas por substituição — precisamos manipular a expressão algebricamente para remover a indeterminação. Vou te ensinar como fazer isso passo a passo (é a parte boa: é só fatorar e simplificar).

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador. Para o numerador usamos a fórmula da soma de cubos:
\text{Se } a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}).
Aplicando com a=x e b=2, temos a fatoração
x^{3}+8 = (x+2)\big(x^{2}-2x+4\big).
Para o denominador usamos diferença de quadrados:
4-x^{2} = (2-x)(2+x).
Como 2+x = x+2, podemos escrever
4-x^{2} = (2-x)(x+2).

Passo 4

Agora substituímos as fatorações na fração original:
\frac{8+x^{3}}{4-x^{2}} = \frac{(x+2)\big(x^{2}-2x+4\big)}{(2-x)(x+2)}.
Para todo x\neq -2 podemos cancelar o fator comum (x+2), obtendo a expressão equivalente (no entorno de -2, exceto no próprio -2):
\frac{8+x^{3}}{4-x^{2}} = \frac{x^{2}-2x+4}{2-x},\qquad x\neq -2.

Passo 5

Com a forma simplificada podemos agora aplicar a substituição direta, porque a nova expressão é contínua em x=-2. Avaliando numerador e denominador em x=-2:
x^{2}-2x+4\Big|_{x=-2} = (-2)^{2}-2(-2)+4 = 4+4+4 = 12,
2-x\Big|_{x=-2} = 2-(-2) = 4.
Portanto o quociente é
\frac{12}{4} = 3.
Logo o limite existe e vale 3.

Passo 6

Comentário rápido para reforçar: outra maneira (mais “calculeiro”) seria aplicar a regra de L’Hôpital, diferenciando numerador e denominador (porque tínhamos 0/0); isso também daria
\frac{d}{dx}(8+x^{3})\Big/ \frac{d}{dx}(4-x^{2}) = \frac{3x^{2}}{-2x},
avaliando em x=-2 resulta em \frac{3\cdot 4}{4}=3, confirmando o resultado. Preferi fatorar porque é mais direto e não exige derivadas.

Resposta

3

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