Dado o par de transformada \cos (2 t) u(t) \Longleftrightarrow X(s), determine os sinais de tempo contínuo correspondentes às seguintes transformadas de Laplace:
(a) (s+1) X(s)

Passo 1

O enunciado dá o par de transformada
\cos(2t)\,u(t) \Longleftrightarrow X(s)
e pede o sinal de tempo contínuo que corresponde à transformada
(s+1)\,X(s).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\begin{aligned} &\text{o função no tempo é }f(t)=\cos(2t)\,u(t).\\\ &\text{Sabemos também que }f(0^-)=0\quad\text{(pois para }t<0\text{ vale }0),\\\ &\text{e }f(0^+)=\cos(0)=1\quad\text{(salto no instante }t=0). \end{aligned}çãéé

Passo 2

Recordando uma propriedade importante da transformada de Laplace (aqui explicada passo a passo):
\text{Se }F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\},\text{ então }\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0^-).ã
O que isso quer dizer, em palavras simples:
  • Multiplicar F(s) por s está relacionado à derivada temporal de f(t), mas há um ajuste que depende do valor de f imediatamente antes de t=0, ou seja f(0^-).
  • Reescrevendo,
sF(s)=\mathcal{L}\{f'(t)\}+f(0^-).
Aplicando a transformada inversa, obtemos (em termos de distribuições)
\mathcal{L}^{-1}\{sF(s)\}=f'(t)+f(0^-)\,\delta(t),
porque \mathcal{L}\{\delta(t)\}=1.

Passo 3

Agora aplicamos isso ao nosso caso. Como o enunciado define f(t)=\cos(2t)\,u(t), temos f(0^-)=0. Portanto para X(s) vale
\mathcal{L}^{-1}\{sX(s)\}=f'(t),
ou seja, não aparece o termo f(0^-)\delta(t) porque f(0^-)=0. Atenção: isso não significa que f'(t) não contenha delta(s) — pode conter, porque f tem salto em t=0. Precisamos calcular f'(t) em sentido de distribuições.

Passo 4

Calculando a derivada de f(t)=\cos(2t)\,u(t) no sentido de distribuições (passo a passo):
Use a regra do produto para distribuições:
\frac{d}{dt}\big(\cos(2t)\,u(t)\big)=\cos(2t)\,\frac{d}{dt}u(t)+u(t)\,\frac{d}{dt}\cos(2t).
Sabemos que \frac{d}{dt}u(t)=\delta(t) e \frac{d}{dt}\cos(2t)=-2\sin(2t). Então
f'(t)=\cos(2t)\,\delta(t)+u(t)\,(-2\sin(2t)).
Como \cos(0)=1, o termo com delta fica \delta(t). Portanto
\boxed{\,f'(t)=\delta(t)-2\sin(2t)\,u(t)\,}
Explicação intuitiva: o impulso \delta(t) aparece porque f salta de 0 para 1 em t=0; o resto é a derivada usual para t>0.

Passo 5

Agora calculemos a transformada inversa de (s+1)X(s). Como (s+1)X(s)=sX(s)+X(s), pela linearidade da transformada inversa:
\mathcal{L}^{-1}\{(s+1)X(s)\}= \mathcal{L}^{-1}\{sX(s)\}+\mathcal{L}^{-1}\{X(s)\}.
Pelo que vimos:
\mathcal{L}^{-1}\{sX(s)\}=f'(t)=\delta(t)-2\sin(2t)\,u(t),
e
\mathcal{L}^{-1}\{X(s)\}=f(t)=\cos(2t)\,u(t).
Somando termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\{(s+1)X(s)\}=\delta(t)-2\sin(2t)\,u(t)+\cos(2t)\,u(t).
Agrupando os termos multiplicados por u(t),
\mathcal{L}^{-1}\{(s+1)X(s)\}=\delta(t)+\big(\cos(2t)-2\sin(2t)\big)u(t).

Resposta

\delta(t)+\big(\cos(2t)-2\sin(2t)\big)u(t)

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