Dado o par de transformada
, determine os sinais de tempo contínuo correspondentes às seguintes transformadas de Laplace:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado dá o par de transformada
e pede o sinal de tempo contínuo que corresponde à transformada
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Passo 2
Recordando uma propriedade importante da transformada de Laplace (aqui explicada passo a passo):
O que isso quer dizer, em palavras simples:
- Multiplicar
por está relacionado à derivada temporal de , mas há um ajuste que depende do valor de imediatamente antes de , ou seja . - Reescrevendo,
Aplicando a transformada inversa, obtemos (em termos de distribuições)
porque
.
Passo 3
Agora aplicamos isso ao nosso caso. Como o enunciado define
, temos
. Portanto para
vale
ou seja, não aparece o termo
porque
. Atenção: isso não significa que
não contenha delta(s) — pode conter, porque
tem salto em
. Precisamos calcular
em sentido de distribuições.
Passo 4
Calculando a derivada de
no sentido de distribuições (passo a passo):
Use a regra do produto para distribuições:
Use a regra do produto para distribuições:
Sabemos que
e
. Então
Como
, o termo com delta fica
. Portanto
Explicação intuitiva: o impulso
aparece porque
salta de
para
em
; o resto é a derivada usual para
.
Passo 5
Agora calculemos a transformada inversa de
. Como
, pela linearidade da transformada inversa:
Pelo que vimos:
e
Somando termo a termo:
Agrupando os termos multiplicados por
,