Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada \mathrm{x}(\mathrm{t}) e saída \mathrm{y}(\mathrm{t}), determine quais sistemas são lineares e quais são não lineares.
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}+y^{2}(t)=x(t)

Passo 1

O enunciado dá um sistema com entrada \mathrm{x}(t) e saída \mathrm{y}(t) descrito pela equação
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + y^{2}(t) = x(t).
A pergunta é: esse sistema é linear ou não linear?

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar com clareza o que significa “sistema linear”. Um sistema que associa a saída y(t) à entrada x(t) é linear se o operador L que mapeia y para x (ou vice‑versa) satisfaz a propriedade de superposição: para quaisquer sinais y_1(t),y_2(t) e quaisquer escalares a,b,
L[a y_1 + b y_2] = a\,L[y_1] + b\,L[y_2].
Essa condição implica duas propriedades particulares:
  • homogeneidade (ou escala): L[a y] = a L[y] para todo escalar a;
  • aditividade: L[y_1 + y_2] = L[y_1] + L[y_2].

Passo 3

Escrevemos o operador associado à equação. Se definirmos
L[y] \equiv \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + y^{2}(t),
então o sistema diz L[y]=x. Note que:
  • o termo \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} é um operador linear (a derivada é linear: \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(a y_1 + b y_2)=a\,\dfrac{\mathrm{d}y_1}{\mathrm{d}t}+b\,\dfrac{\mathrm{d}y_2}{\mathrm{d}t});
  • o termo y^{2}(t) não é linear em y (ele envolve produto de y por si mesmo).
Só por esse comentário já há forte suspeita de não linearidade porque aparece y^2. Mas vamos mostrar formalmente que a propriedade de superposição falha.

Passo 4

Teste formal: calcule L[a y_1 + b y_2] e compare com aL[y_1]+bL[y_2].
L[a y_1 + b y_2] = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(a y_1 + b y_2) + (a y_1 + b y_2)^{2}.
A derivada dá a parte linear:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(a y_1 + b y_2) = a\frac{\mathrm{d}y_1}{\mathrm{d}t} + b\frac{\mathrm{d}y_2}{\mathrm{d}t}.
Mas a parte quadrática gera termos extras pelo desenvolvimento do quadrado:
(a y_1 + b y_2)^{2} = a^{2} y_1^{2} + 2ab\,y_1 y_2 + b^{2} y_2^{2}.
Portanto
L[a y_1 + b y_2] = a\frac{\mathrm{d}y_1}{\mathrm{d}t} + b\frac{\mathrm{d}y_2}{\mathrm{d}t} + a^{2} y_1^{2} + 2ab\,y_1 y_2 + b^{2} y_2^{2}.
Enquanto que
aL[y_1] + bL[y_2] = a\left(\frac{\mathrm{d}y_1}{\mathrm{d}t} + y_1^{2}\right) + b\left(\frac{\mathrm{d}y_2}{\mathrm{d}t} + y_2^{2}\right) = a\frac{\mathrm{d}y_1}{\mathrm{d}t} + b\frac{\mathrm{d}y_2}{\mathrm{d}t} + a y_1^{2} + b y_2^{2}.
Comparando, vemos termos adicionais em L[a y_1 + b y_2]: especificamente (a^{2}-a) y_1^{2} + 2ab\,y_1 y_2 + (b^{2}-b) y_2^{2}, que não se anulam em geral. Logo
L[a y_1 + b y_2] \neq aL[y_1] + bL[y_2]
em geral, o que prova formalmente que o operador não é linear.

Passo 5

Para ficar mais concreto e intuitivo (e para você poder usar esse tipo de contraexemplo numa prova), damos um contraexemplo explícito simples. Tome funções constantes fáceis:
y_1(t)=1,\qquad y_2(t)=2.
Para y_1=1 temos \dfrac{\mathrm{d}y_1}{\mathrm{d}t}=0 e y_1^{2}=1, então da equação segue x_1(t)=1.
Para y_2=2 temos \dfrac{\mathrm{d}y_2}{\mathrm{d}t}=0 e y_2^{2}=4, então x_2(t)=4.
Agora verifique a aditividade: y_1+y_2=3. Para essa soma temos \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(y_1+y_2)=0 e (y_1+y_2)^{2}=9, então o x correspondente é 9. Mas x_1+x_2=1+4=5. Como 9\neq 5, a superposição falha claramente.

Passo 6

Também podemos ver a falha da homogeneidade com um exemplo simples: multiplique y_1 por a=2. Se y_1=1 tem x_1=1, mas 2y_1=2 tem x=4, não 2\cdot 1=2. Então L[2y_1]\neq 2L[y_1]. Esse tipo de verificação rápida costuma ser suficiente numa prova para mostrar que o sistema não é linear: qualquer termo não linear em y (como y^2) viola as propriedades de linearidade.

Passo 7

Conclusão didática: a presença do termo y^{2}(t) torna o operador não linear porque produz termos quadráticos e cruzados que impedem homogeneidade e aditividade. A derivada sozinha é linear, mas a soma com y^2 resulta num operador não linear. Portanto o sistema é não linear.

Resposta

Não linear.

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