Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada
e saída
, determine quais sistemas são lineares e quais são não lineares.
Passo 1
O enunciado dá um sistema com entrada
e saída
descrito pela equação
A pergunta é: esse sistema é linear ou não linear?
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar com clareza o que significa “sistema linear”. Um sistema que associa a saída
à entrada
é linear se o operador
que mapeia
para
(ou vice‑versa) satisfaz a propriedade de superposição: para quaisquer sinais
e quaisquer escalares
,
Essa condição implica duas propriedades particulares:
- homogeneidade (ou escala):
para todo escalar ; - aditividade:
.
Passo 3
Escrevemos o operador associado à equação. Se definirmos
então o sistema diz
. Note que:
- o termo
é um operador linear (a derivada é linear: ); - o termo
não é linear em (ele envolve produto de por si mesmo).
Só por esse comentário já há forte suspeita de não linearidade porque aparece
. Mas vamos mostrar formalmente que a propriedade de superposição falha.
Passo 4
Teste formal: calcule
e compare com
.
A derivada dá a parte linear:
Mas a parte quadrática gera termos extras pelo desenvolvimento do quadrado:
Portanto
Enquanto que
Comparando, vemos termos adicionais em
: especificamente
, que não se anulam em geral. Logo
em geral, o que prova formalmente que o operador não é linear.
Passo 5
Para ficar mais concreto e intuitivo (e para você poder usar esse tipo de contraexemplo numa prova), damos um contraexemplo explícito simples. Tome funções constantes fáceis:
Para
temos
e
, então da equação segue
.
Para temos
e
, então
.
Para
Agora verifique a aditividade:
. Para essa soma temos
e
, então o
correspondente é
. Mas
. Como
, a superposição falha claramente.
Passo 6
Também podemos ver a falha da homogeneidade com um exemplo simples: multiplique
por
. Se
tem
, mas
tem
, não
. Então
. Esse tipo de verificação rápida costuma ser suficiente numa prova para mostrar que o sistema não é linear: qualquer termo não linear em
(como
) viola as propriedades de linearidade.
Passo 7
Conclusão didática: a presença do termo
torna o operador não linear porque produz termos quadráticos e cruzados que impedem homogeneidade e aditividade. A derivada sozinha é linear, mas a soma com
resulta num operador não linear. Portanto o sistema é não linear.
Resposta
Não linear.