Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada
e saída
, explique quais dos sistemas são invariantes no tempo e quais são variantes no tempo.
Passo 1
Temos o sistema descrito por
e a tarefa é verificar se ele é invariante no tempo. O conteúdo usado será a definição de invariança no tempo: um sistema
é invariante no tempo se, para qualquer atraso
, atrasar a entrada gera exatamente o mesmo atraso na saída.
Passo 2
Vamos aplicar um atraso
à entrada. Definimos
A saída correspondente, pela lei do sistema, é
Passo 3
Agora calculamos a saída original atrasada em
. Primeiro a saída sem atraso é
A seguir atrasamos essa saída em
, obtendo
Passo 4
Para o sistema ser invariante no tempo precisamos ter
para todo
e todo
. Comparando as expressões:
Essas duas só coincidem para todo
se e somente se
para todo
.
Passo 5
A condição
para todo
implica
. Logo:
- Se
, então e o sistema é invariante no tempo. - Se
, o sistema é variante no tempo.
Resposta
O sistema é invariante no tempo apenas quando
. Caso contrário
, é variante no tempo.