Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada x(t) e saída y(t), explique quais dos sistemas são invariantes no tempo e quais são variantes no tempo.
y(t)=x(a t)

Passo 1

Temos o sistema descrito por
y(t)=x(a\,t)
e a tarefa é verificar se ele é invariante no tempo. O conteúdo usado será a definição de invariança no tempo: um sistema T é invariante no tempo se, para qualquer atraso t_{0}, atrasar a entrada gera exatamente o mesmo atraso na saída.

Passo 2

Vamos aplicar um atraso t_{0} à entrada. Definimos
x_{1}(t)=x(t - t_{0}).
A saída correspondente, pela lei do sistema, é
y_{1}(t)=T\{x_{1}\}(t)=x_{1}\bigl(a\,t\bigr)=x\bigl(a\,t - t_{0}\bigr).

Passo 3

Agora calculamos a saída original atrasada em t_{0}. Primeiro a saída sem atraso é
y(t)=x(a\,t).
A seguir atrasamos essa saída em t_{0}, obtendo
y(t - t_{0})=x\bigl(a\,(t - t_{0})\bigr)=x\bigl(a\,t - a\,t_{0}\bigr).

Passo 4

Para o sistema ser invariante no tempo precisamos ter
y_{1}(t)\;=\;y(t - t_{0})
para todo t e todo t_{0}. Comparando as expressões:
y_{1}(t)=x\bigl(a\,t - t_{0}\bigr), \quad y(t - t_{0})=x\bigl(a\,t - a\,t_{0}\bigr).
Essas duas só coincidem para todo t_{0} se e somente se a\,t_{0}=t_{0} para todo t_{0}.

Passo 5

A condição a\,t_{0}=t_{0} para todo t_{0} implica a=1. Logo:
  • Se a=1, então y(t)=x(t) e o sistema é invariante no tempo.
  • Se a\neq1, o sistema é variante no tempo.

Resposta

O sistema é invariante no tempo apenas quando a=1. Caso contrário a\neq1, é variante no tempo.

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