Transforme o problema de valor inicial
u^prime prime+0,25 u^prime+4 u=2 cos 3 t, u(0)=1, u^prime(0)=-2
em um problema de valor inicial para duas equações de primeira ordem.
Res: x1^prime=x2 e x2^prime=-4 x1-0.25 x2+2 cos 3 t

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial de segunda ordem
u'' + 0,25,u' + 4,u = 2cos(3t), u(0)=1, u'(0)=-2
e pede para transformá-lo num sistema equivalente de duas equações de primeira ordem.

Passo 2

Introduzimos as variáveis de estado
x1(t) = u(t), x2(t) = u'(t)
Assim, x1 e x2 são funções de primeira ordem e podemos expressar u e u' em termos delas.

Passo 3

Como x1 = u e x2 = u', temos
x1' = u' = x2
Além disso, a equação original dá
u'' = -0,25,u' -4,u + 2cos(3t)
Portanto
x2' = u'' = -4,x1 -0,25,x2 + 2cos(3t)

Passo 4

As condições iniciais ficam
x1(0) = u(0) = 1, x2(0) = u'(0) = -2

Resposta

x1' = x2, x2' = -4,x1 - 0,25,x2 + 2cos(3t), x1(0)=1, x2(0)=-2

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