Em cada caso, escreva o vetor v como combinação linear de $v_{1},
a. v1, a e e .
b. b e e .
c. c e e .
d. d e e .
e. e e e

Passo 1

O enunciado pede para escrever, em diferentes espaços vetoriais, um vetor v como combinação linear de vetores dados v1,v2,dots. Isso significa achar coeficientes (por exemplo alpha,beta,dots) tais que
alpha v1+beta v2+cdots = v
Para isso, em cada caso montamos um sistema linear igualando componentes ou coeficientes de polinômios e o resolvemos.

Passo 2

Para o item (a) em
escrevemos
Isso gera o sistema
Somando as duas equações temos . Substituindo em vem .

Passo 3

Para o item (b) em R^3 com
v=(2,1,4),;v1=(1,0,0),;v2=(1,1,0),;v3=(1,1,1),
escrevemos
xv1+yv2+zv3=(x+y+z,;y+z,;z)=(2,1,4)
Da terceira componente vem z=4. Da segunda y+4=1Rightarrow y=-3. Da primeira x-3+4=2Rightarrow x=1.

Passo 4

Para o item (c) em R^2 com
v=(1,3),;v1=(0,0),;v2=(3,9),
temos
a,v1+b,v2=(0,0)+(3b,9b)=(3b,9b)=(1,3)
Da componente 3b=1 segue b=tfrac13 e 9b=3 confere. Como v1=0 podemos escolher a=0. Logo v=tfrac13v2.

Passo 5

Para o item (d) em R^3 com
v=(2,-1,6),;v1=(1,0,2),;v2=(1,1,0),
escrevemos
alpha v1+beta v2=(alpha+beta,;beta,;2alpha)=(2,-1,6)
Da segunda componente beta=-1. Da terceira 2alpha=6Rightarrow alpha=3. Verifica-se alpha+beta=3-1=2.

Passo 6

Para o item (e) em P2(R) com
v=t^2-2t,;v1=t+1,;v2=t^2,;v3=2t,
procuramos
a(t+1)+b,t^2+c(2t)=b,t^2+(a+2c)t + a = t^2-2t
Comparando coeficientes: de t^2 vem b=1; de t vem a+2c=-2; do termo constante a=0. Logo c=-1.

Resposta

(a) v=tfrac43v1+tfrac13v2
(b) v=1,v1-3,v2+4,v3
(c) v=0,v1+tfrac13v2 (ou simplesmente v=tfrac13v2).
(d) v=3,v1-1,v2
(e) v=0,v1+1,v2-1,v3

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