Em cada caso, escreva o vetor como combinação linear de $v_{1},
a. e .
b. e .
c. e .
d. e .
e. e
Passo 1
O enunciado pede para escrever, em diferentes espaços vetoriais, um vetor como combinação linear de vetores dados . Isso significa achar coeficientes (por exemplo ) tais que
Para isso, em cada caso montamos um sistema linear igualando componentes ou coeficientes de polinômios e o resolvemos.
Passo 2
Para o item (a) em
escrevemos
Isso gera o sistema
Somando as duas equações temos . Substituindo em vem .
Passo 3
Para o item (b) em R^3 com
v=(2,1,4),;v1=(1,0,0),;v2=(1,1,0),;v3=(1,1,1),
escrevemos
xv1+yv2+zv3=(x+y+z,;y+z,;z)=(2,1,4)
Da terceira componente vem z=4. Da segunda y+4=1Rightarrow y=-3. Da primeira x-3+4=2Rightarrow x=1.
Passo 4
Para o item (c) em R^2 com
v=(1,3),;v1=(0,0),;v2=(3,9),
temos
a,v1+b,v2=(0,0)+(3b,9b)=(3b,9b)=(1,3)
Da componente 3b=1 segue b=tfrac13 e 9b=3 confere. Como v1=0 podemos escolher a=0. Logo v=tfrac13v2.