Considere um cubo formado pelos vetores \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} e com 13 unidades de volume. Sabendo que os vetores \vec{u} e \vec{v} \times \vec{w} têm sentidos opostos, determine \vec{u} \cdot \vec{w} \times \vec{v}.
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} que formam um paralelepípedo de volume 13. Sabemos que o volume orientado é dado pelo produto misto
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})
e precisamos encontrar \vec{u}\cdot(\vec{w}\times\vec{v}), usando a informação sobre o sentido de \vec{u} em relação a \vec{v}\times\vec{w}.

Passo 2

Como o volume absoluto é 13, temos
\bigl|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\bigr| = 13.
Além disso, o enunciado diz que \vec{u} e \vec{v}\times\vec{w} têm sentidos opostos, ou seja,
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) < 0.
Logo,
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = -13.

Passo 3

Observamos que \vec{w}\times\vec{v} = -\,(\vec{v}\times\vec{w}). Portanto,
\vec{u}\cdot(\vec{w}\times\vec{v}) = \vec{u}\cdot\bigl(-(\vec{v}\times\vec{w})\bigr) = -\,\bigl[\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\bigr].

Passo 4

Substituindo o valor \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = -13, obtemos
\vec{u}\cdot(\vec{w}\times\vec{v}) = -\,(-13) = 13.

Resposta

13

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