Uma característica da qualidade, normalmente distribuída, é monitorada por meio do uso dos gráficos \bar{X} e R. Neste caso, tais gráficos de controle apresentam as seguintes características para amostras de tamanho n=4 :
Gráfico \bar{x} Gráfico R
L.S.C. =626,0 L.S.C. =18,795
L.C. =620,0 L.C. =8,236
L.I.C. =614,0 L.I.C. =0
Dado que os gráficos( \bar{X} e R ) indicam que o processo está sob controle,
a) Determine uma estimativa para o desvio padrão do processo.
b) Se as especificações para o processo são 610 \pm 15, determine uma estimativa para a porcentagem de itens não-conformes desse processo.
c) Sob as mesmas especificações do citadas no item (b), determine uma estimativa para a razão da capacidade do processo e outra para a porcentagem da faixa de especificação usada pelo processo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda):
  • Tamanho das amostras: n=4.
  • Gráfico R: linha central (L.C.) \bar{R}=8,236, limite superior (L.S.C.) =18,795, limite inferior (L.I.C.) =0.
  • Gráfico \bar{X}: linha central (L.C.) \bar{\bar{X}}=620,0, limite superior =626,0, limite inferior =614,0.
  • Especificações do processo: 610\pm15, isto é, \text{LS} = 625 e \text{LI} = 595.
  • O enunciado afirma que o processo está sob controle (ou seja, podemos usar as estimativas do gráfico como representativas do processo).
O enunciado pede:
(a) Uma estimativa para o desvio padrão do processo.
(b) Com as especificações 610\pm15, uma estimativa para a porcentagem de itens não-conformes.
(c) Com as mesmas especificações, uma estimativa para a razão da capacidade do processo e outra para a porcentagem da faixa de especificação usada pelo processo.

Passo 2

Estimativa do desvio padrão a partir do gráfico R.
Explicação didática do conceito e da fórmula usada:
  • O gráfico R monitora a amplitude (range) das amostras. A média das amplitudes das amostras é \bar{R}.
  • Para amostras de tamanho n, existe uma constante d_2 (tabulada) tal que \mathbb{E}(\text{range}) = d_2\,\sigma, onde \sigma é o desvio padrão do processo.
  • Assim, uma estimativa não-viciada do desvio padrão é
\hat{\sigma}=\dfrac{\bar{R}}{d_2}.
  • Para n=4, o valor tabulado é d_2=2,059. (Isso é um valor padrão de estatística de controle de qualidade.)
Aplicando com os números dados (peguei \bar{R}=8,236 da tabela do enunciado):
\hat{\sigma}=\dfrac{8,236}{2,059}=4,0.

Passo 3

Interpretação e preparação para calcular a porcentagem não-conforme.
Explicação didática:
  • Supondo que a característica seja normalmente distribuída e que o processo esteja sob controle, usamos \hat{\mu}=\bar{\bar{X}}=620,0 como estimativa da média do processo e \hat{\sigma}=4,0 como estimativa do desvio padrão (obtida no passo anterior).
  • Especificações: \text{LI}=595 e \text{LS}=625.
  • A porcentagem de itens não-conformes é
P(\text{não conforme}) = P(X<595)+P(X>625).ã
  • Para calcular essas probabilidades transformamos em variáveis Z da Normal padrão:
Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}.

Passo 4

Cálculo dos valores z e das probabilidades.
Computo dos z-scores:
z_{\text{LI}}=\dfrac{595-620}{4}=\dfrac{-25}{4}=-6,25, \qquad z_{\text{LS}}=\dfrac{625-620}{4}=\dfrac{5}{4}=1,25.
Interpretação:
  • P(X<595)=P\big(Z<-6,25\big). Esse valor é praticamente zero (muito desprezível: normalmente menor que 10^{-9}), então podemos tratá-lo como 0 para propósitos práticos.
  • P(X>625)=1-P\big(Z\le 1,25\big)=1-\Phi(1,25).
Usando a tabela da Normal padrão (ou calculadora):
\Phi(1,25)\approx 0,8944.
Logo
P(X>625)\approx 1-0,8944=0,1056.
Portanto a porcentagem de não-conformes (multiplicando por 100) é aproximadamente 10,56\%.

Passo 5

Cálculo da razão da capacidade do processo e da porcentagem da faixa de especificação usada.
Explicação das fórmulas:
  • A razão de capacidade usual C_p mede quantas vezes a largura da especificação comporta a dispersão natural do processo (6σ):
C_p=\dfrac{\text{LS}-\text{LI}}{6\,\sigma}.
Aqui \text{LS}-\text{LI} é a largura total da faixa de especificação.
  • A porcentagem da faixa de especificação usada pelo processo é simplesmente
\%\,\text{usada}=\dfrac{6\,\sigma}{\text{LS}-\text{LI}}\times 100\%.
Isto é, quanto do intervalo de especificação é ocupado pela faixa [\mu-3\sigma,\mu+3\sigma].
Aplicando os números:
  • Largura da especificação: \text{LS}-\text{LI}=625-595=30.
  • 6\,\sigma=6\cdot 4,0=24.
Então
C_p=\dfrac{30}{24}=1,25, \qquad \%\,\text{usada}=\dfrac{24}{30}\times100\%=80\%.

Resposta

(a) \hat{\sigma}=4,0
(b) \text{Porcentagem de não-conformes}\approx 10,56\%ã
(c) \;C_p=1,25
\;\%\text{ da faixa de especificação usada}=80\%çã

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