Situação hipotética: Um banco emprestou R$ 12.000 para Maria, que deve fazer a amortização em doze parcelas mensais consecutivas pelo sistema de amortização constante sem carência. A taxa de juros contratada para o empréstimo foi de 1% ao mês, e a primeira parcela deverá ser paga um mês após a tomada do empréstimo. Assertiva
a) Qual o valor da quarta parcela paga por Maria.
b) Caso o sistema seja PRICE qual será o valor da parcela?
a) Qual o valor da quarta parcela paga por Maria.
b) Caso o sistema seja PRICE qual será o valor da parcela?
Passo 1
O enunciado dá um empréstimo de
para Maria, a ser amortizado em
parcelas mensais iguais no que toca à amortização (sistema de amortização constante — SAC), sem carência. A taxa contratada é de
ao mês. A primeira parcela vence um mês após a tomada. Perguntas:
a) Qual o valor da quarta parcela no sistema SAC?
b) Se o sistema fosse PRICE (sistema francês, parcela constante), qual seria o valor da parcela mensal?
a) Qual o valor da quarta parcela no sistema SAC?
b) Se o sistema fosse PRICE (sistema francês, parcela constante), qual seria o valor da parcela mensal?
Informações relevantes (resumindo, todas em LaTeX):
, número de parcelas
, taxa mensal
.
Passo 2
Entendendo o SAC (sistema de amortização constante) — aula rápida e prática:
- No SAC a amortização do principal em cada parcela é constante e igual a
. - Denotando por
a amortização mensal, por os juros da -ésima parcela (calculados sobre o saldo devedor imediatamente antes do pagamento) e por o valor total da -ésima parcela, temos:
onde
é o saldo devedor antes do pagamento
. Aqui
. Note que
(saldo inicial).
Explicando as variáveis de forma bem mansa:
-
= principal (o valor emprestado); -
= número total de parcelas; -
= taxa por período (aqui mensal); -
= parte da parcela que amortiza o principal (constante no SAC); -
= juros cobrados na parcela (variável, pois o saldo devedor diminui); -
= parcela paga na vez (soma de amortização + juros).
Passo 3
Aplicando SAC ao caso concreto:
Calculemos primeiro a amortização mensal :
Calculemos primeiro a amortização mensal
Então, a cada parcela Maria está amortizando
do principal.
Para achar a quarta parcela precisamos do saldo antes da quarta parcela, ou seja
(saldo após 3 amortizações). Como cada amortização é
, após 3 pagamentos o total amortizado é
. Logo:
Passo 4
Calcular os juros da quarta parcela e o valor total da quarta parcela:
- Juros da quarta parcela:
- Parcela
(amortização + juros):
Comentário prático: no SAC as parcelas vão diminuindo linearmente: a primeira foi
(juros sobre
), a segunda
, a terceira
, a quarta
— dá para ver o padrão.
Passo 5
Entendendo o sistema PRICE (sistema francês) — aula rápida:
- No PRICE a parcela
é constante durante todo o prazo. Essa parcela é uma anuidade cujo valor presente (avaliado à taxa ) é igual ao principal . - A fórmula da prestação constante
é:
Explicando as variáveis:
-
= principal; -
= taxa por período; -
= número de períodos; -
= fator de capitalização que eleva 1 mais a taxa à -ésima potência.
Outra forma equivalente, útil às vezes, é:
Ambas são idênticas; eu vou usar a forma com
.
Passo 6
Calcular
com
e
(faço passo a passo para você poder reproduzir sem calculadora com aproximações sucessivas):
Portanto tomamos
.
Passo 7
Aplicar a fórmula do PRICE com os números:
Usando
Usando
substituímos
,
,
.
Calcule o numerador da fração:
Calcule o denominador:
A fração vale aproximadamente
Multiplicando por
:
Uma forma alternativa e ligeiramente mais direta (mesma resposta) é usar
Calculando
, temos
confirmando o valor anterior.
Passo 8
Interpretação e arredondamento final:
- No SAC a quarta parcela saiu exatamente
(valores exatos sem necessidade de arredondamento). - No PRICE obtemos uma parcela fixa de aproximadamente
por mês (arredondada a centavos, valor típico em exercícios e contratos).