Situação hipotética: Um banco emprestou R$ 12.000 para Maria, que deve fazer a amortização em doze parcelas mensais consecutivas pelo sistema de amortização constante sem carência. A taxa de juros contratada para o empréstimo foi de 1% ao mês, e a primeira parcela deverá ser paga um mês após a tomada do empréstimo. Assertiva
a) Qual o valor da quarta parcela paga por Maria.
b) Caso o sistema seja PRICE qual será o valor da parcela?

Passo 1

O enunciado dá um empréstimo de \text{R\$ }12.000 para Maria, a ser amortizado em 12 parcelas mensais iguais no que toca à amortização (sistema de amortização constante — SAC), sem carência. A taxa contratada é de 1\% ao mês. A primeira parcela vence um mês após a tomada. Perguntas:
a) Qual o valor da quarta parcela no sistema SAC?
b) Se o sistema fosse PRICE (sistema francês, parcela constante), qual seria o valor da parcela mensal?
Informações relevantes (resumindo, todas em LaTeX):
\text{Principal }P=\text{R\$ }12.000, número de parcelas n=12, taxa mensal i=1\%=0,01.

Passo 2

Entendendo o SAC (sistema de amortização constante) — aula rápida e prática:
  • No SAC a amortização do principal em cada parcela é constante e igual a \dfrac{P}{n}.
  • Denotando por A a amortização mensal, por J_k os juros da k-ésima parcela (calculados sobre o saldo devedor imediatamente antes do pagamento) e por R_k o valor total da k-ésima parcela, temos:
A=\frac{P}{n}, \qquad J_k = S_{k-1}\cdot i, \qquad R_k = A + J_k,
onde S_{k-1} é o saldo devedor antes do pagamento k. Aqui k=1,2,\dots,n. Note que S_0=P (saldo inicial).
Explicando as variáveis de forma bem mansa:
  • P = principal (o valor emprestado);
  • n = número total de parcelas;
  • i = taxa por período (aqui mensal);
  • A = parte da parcela que amortiza o principal (constante no SAC);
  • J_k = juros cobrados na parcela k (variável, pois o saldo devedor diminui);
  • R_k = parcela paga na vez k (soma de amortização + juros).

Passo 3

Aplicando SAC ao caso concreto:
Calculemos primeiro a amortização mensal A:
A=\frac{P}{n}=\frac{\text{R\$}12.000}{12}=\text{R\$ }1.000.
Então, a cada parcela Maria está amortizando \text{R\$ }1.000 do principal.
Para achar a quarta parcela precisamos do saldo antes da quarta parcela, ou seja S_3 (saldo após 3 amortizações). Como cada amortização é \text{R\$}1.000, após 3 pagamentos o total amortizado é \text{R\$ }3.000. Logo:
S_3 = P - 3A = \text{R\$}12.000 - 3\cdot\text{R\$ }1.000 = \text{R\$ }9.000.

Passo 4

Calcular os juros da quarta parcela e o valor total da quarta parcela:
  • Juros da quarta parcela:
J_4 = S_3\cdot i = \text{R\$}9.000 \cdot 0{,}01 = \text{R\$ }90{,}00.
  • Parcela R_4 (amortização + juros):
R_4 = A + J_4 = \text{R\$}1.000 + \text{R\$ }90{,}00 = \text{R\$ }1.090{,}00.
Comentário prático: no SAC as parcelas vão diminuindo linearmente: a primeira foi \text{R\$}1.120{,}00 (juros sobre \text{R\$ }12.000), a segunda \text{R\$}1.110{,}00, a terceira \text{R\$ }1.100{,}00, a quarta \text{R\$ }1.090{,}00 — dá para ver o padrão.

Passo 5

Entendendo o sistema PRICE (sistema francês) — aula rápida:
  • No PRICE a parcela R é constante durante todo o prazo. Essa parcela é uma anuidade cujo valor presente (avaliado à taxa i) é igual ao principal P.
  • A fórmula da prestação constante R é:
R = P\cdot\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}.
Explicando as variáveis:
  • P = principal;
  • i = taxa por período;
  • n = número de períodos;
  • (1+i)^n = fator de capitalização que eleva 1 mais a taxa à n-ésima potência.
Outra forma equivalente, útil às vezes, é:
R = \frac{P\cdot i}{1-(1+i)^{-n}}.
Ambas são idênticas; eu vou usar a forma com (1+i)^n.

Passo 6

Calcular (1+i)^n com i=0{,}01 e n=12 (faço passo a passo para você poder reproduzir sem calculadora com aproximações sucessivas):
1{,}01^2 = 1{,}0201,
1{,}01^3 = 1{,}030301,
1{,}01^4 = 1{,}04060301,
1{,}01^5 = 1{,}0510090401,
1{,}01^6 = 1{,}061519130501,
1{,}01^7 = 1{,}07213432180601,
1{,}01^8 = 1{,}0828556650240701,
1{,}01^9 = 1{,}0936842216743108,
1{,}01^{10} = 1{,}104621063891054,
1{,}01^{11} = 1{,}1156672745299646,
1{,}01^{12} = 1{,}1268249472752643 \quad(\text{arredondando onde necessário}).á
Portanto tomamos (1+i)^n \approx 1{,}1268249473.

Passo 7

Aplicar a fórmula do PRICE com os números:
Usando
R = P\cdot\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1},
substituímos P=\text{R\$ }12.000, i=0{,}01, (1+i)^n\approx 1{,}1268249472752643.
Calcule o numerador da fração:
i(1+i)^n = 0{,}01 \times 1{,}1268249472752643 \approx 0{,}011268249472752643.
Calcule o denominador:
(1+i)^n - 1 \approx 1{,}1268249472752643 - 1 = 0{,}1268249472752643.
A fração vale aproximadamente
\frac{0{,}011268249472752643}{0{,}1268249472752643} \approx 0{,}088874\ldots
Multiplicando por P:
R \approx \text{R\$}12.000 \times 0{,}088874\ldots \approx \text{R\$ }1.066{,}49\\ (\text{arredondado a centavos}).
Uma forma alternativa e ligeiramente mais direta (mesma resposta) é usar
R=\frac{P\cdot i}{1-(1+i)^{-n}}.
Calculando (1+i)^{-n}=1/1{,}1268249472752643\approx 0{,}887449291, temos
1-(1+i)^{-n}\approx 0{,}112550709,
R=\frac{\text{R\$}12.000\times 0{,}01}{0{,}112550709}\approx \text{R\$ }1.066{,}49,
confirmando o valor anterior.

Passo 8

Interpretação e arredondamento final:
  • No SAC a quarta parcela saiu exatamente \text{R\$ }1.090{,}00 (valores exatos sem necessidade de arredondamento).
  • No PRICE obtemos uma parcela fixa de aproximadamente \text{R\$ }1.066{,}49 por mês (arredondada a centavos, valor típico em exercícios e contratos).

Resposta

\text{a) Quarta parcela (SAC)} = \text{R\$ }1.090{,}00\n
\text{b) Parcela (PRICE)} \approx \text{R\$ }1.066{,}49

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