1. Uma dívida no valor de \mathrm{R} \ 3.000,00 foi amortizada pelo Sistema de Amortização Constante SAC, com taxa deçã5 %$ ao mês, em 6 parcelas mensais consecutivas, a primeira delas vencendo ao completar um mês da data do empréstimo. O valor da última prestação foi
    a) R \ 515,00$
    b) \mathrm{R} \ 510,00$
    c) \mathbf{R} \ 525,00$
    d) \mathrm{R} \ 550,00$
    e) R \ 530,00$

Passo 1

O enunciado dá uma dívida e pede o valor da última prestação. Dados e o que se pede:
  • Valor inicial da dívida: \mathrm{R}\$\,3.000,00.
  • Sistema de amortização: Sistema de Amortização Constante (SAC).
  • Taxa de juros: 5\% ao mês.
  • Número de parcelas: 6 parcelas mensais consecutivas.
  • A primeira parcela vence ao completar 1 mês.
  • Pergunta: qual é o valor da última prestação (a 6ª)?

Passo 2

Entender o que é o SAC (explicação didática):
  • No SAC a parte de amortização do principal é constante em todas as parcelas. Isso significa que em cada parcela a quantia que vai reduzir o saldo devedor é sempre a mesma.
  • Se o principal inicial é P e o número de parcelas é n, a amortização constante A vale
A=\frac{P}{n}
onde P é o montante inicial da dívida e n o número total de parcelas.
  • Aqui P=\mathrm{R}\$\,3.000,00 e n=6. Vamos calcular A.

Passo 3

Cálculo da amortização constante:
A=\frac{\mathrm{R}\$\,3.000,00}{6}=\mathrm{R}\$\,500,00.
Explicação: em cada parcela nós quitamos \mathrm{R}\$\,500,00 do principal; o que muda de parcela para parcela é apenas o juro calculado sobre o saldo devedor remanescente.

Passo 4

Fórmula do juro e do saldo antes da k-ésima parcela (didática):
  • Seja i a taxa mensal em forma decimal. Aqui i=5\%=0,05.
  • Saldo devedor imediatamente antes da k-ésima parcela (ou seja, após k-1 amortizações) é
B_{k-1}=P-(k-1)A.
  • O juro cobrado na k-ésima parcela é
J_k=i\cdot B_{k-1}.
  • A prestação (valor da parcela) na k-ésima parcela é
\text{Prestação }P_k = A + J_k = A + i\cdot\bigl(P-(k-1)A\bigr).çã
Essa fórmula é útil para calcular qualquer parcela; vamos usá-la para a última parcela k=6.

Passo 5

Calcular o saldo devedor imediatamente antes da 6ª parcela:
B_5 = P - 5A = \mathrm{R}\$\,3.000,00 - 5\cdot\mathrm{R}\$\,500,00 = \mathrm{R}\$\,500,00.
Comentário: faz sentido — depois de 5 amortizações de \mathrm{R}\$\,500,00 cada, resta \mathrm{R}\$\,500,00.

Passo 6

Calcular o juro da 6ª parcela:
  • Converter a taxa para decimal: i=5\%=0,05.
J_6 = i\cdot B_5 = 0,05\cdot\mathrm{R}\$\,500,00 = \mathrm{R}\$\,25,00.
Explicação: o juro é pequeno porque o saldo antes da última parcela é pequeno.

Passo 7

Calcular o valor da última prestação (6ª):
P_6 = A + J_6 = \mathrm{R}\$\,500,00 + \mathrm{R}\$\,25,00 = \mathrm{R}\$\,525,00.
Interpretação: a última parcela é composta pela amortização fixa \mathrm{R}\$\,500,00 mais o juro sobre o saldo remanescente \mathrm{R}\$\,25,00.

Resposta

\mathrm{R}\$\,525,00

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