Uma dívida no valor de \mathrm{R} \ 20.000,00vai ser paga em 30 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira prestação 1 mês após a data de formação da dívida. Utilizou-se o sistema de amortização francês com uma taxa de2 %$ ao mês.
a) Qual o valor da primeira parcela?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
Valor da dívida (valor presente): \mathrm{R} \$ 20.000,00.
Número de prestações: 30 prestações mensais, iguais e consecutivas.
Vencimento: a primeira prestação vence 1 mês após a data da dívida (ou seja, é uma anuidade imediata — pagamentos ao final de cada período).
Taxa de juros: 2\% ao mês, ou seja i=0,02.
Pergunta: Qual o valor da primeira parcela? (Como as parcelas são iguais, basta encontrar o valor da prestação R.)
Passo 2
Modelo e fórmula que vamos usar (explicação didática):
Quando temos um empréstimo pago por prestações mensais constantes (sistema francês, também chamado de “Price”), o valor presente PV do fluxo de prestações é dado pela soma das prestações descontadas. Essa soma tem forma de anuidade finita. A fórmula que relaciona o valor presente PV, a prestação R, a taxa i e o número de parcelas n é
PV = R \cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Explicando cada símbolo:
\,PV é o valor atual da dívida (a quantia emprestada) — aqui \mathrm{R} \$ 20.000,00.
\,R é a prestação constante que queremos encontrar.
\,i é a taxa de juros por período (aqui 0,02).
\,n é o número total de prestações (aqui 30).
A fração \dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i} é chamada de fator de anuidade (ou fator de desconto de uma anuidade).
Passo 3
Isolando R na fórmula (ou seja, resolvendo para a prestação):
R = PV \cdot \frac{i}{1-(1+i)^{-n}}.
Isto vem de multiplicar ambos os lados por \dfrac{i}{1-(1+i)^{-n}}. Essa fórmula diz: a prestação é o valor presente multiplicado por um fator que depende só de i e n.
Passo 4
Agora vamos calcular os componentes numéricos para i=0,02 e n=30.
Primeiro calcule (1+i)^n:
(1+i)^n = (1{,}02)^{30}.
Uma forma prática de obter esse número é usar a expansão exponencial/logarítmica ou multiplicações sucessivas; com precisão suficiente obtemos
(1{,}02)^{30} \approx 1{,}811364\ldots
Passo 5
Computamos o termo (1+i)^{-n} e o denominador da fração:
Escrevendo a prestação em termos numéricos, sem ainda arredondar a resposta final nesta etapa:
R = PV \cdot \frac{i}{1-(1+i)^{-n}} = 20000 \times 0{,}044669\ldots
Esse produto dá a prestação mensal constante que quita a dívida em 30 meses com juros de 2\% ao mês.
Passo 7
Observação prática para a prova: você pode calcular (1{,}02)^{30} com uma calculadora financeira ou científica, obter (1+i)^{-n}, formar o denominador 1-(1+i)^{-n} e então dividir i por esse denominador. Outra forma é calcular o fator de anuidade
a_{\overline{n}|i}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}
e depois fazer R = PV / a_{\overline{n}|i}. No nosso caso a_{\overline{30}|0{,}02}\approx 22{,}38522, e R = 20000/22{,}38522.