Considere a função
e faça o que se pede em cada item a seguir.
a) Determine o domínio de
e as interseções de seu gráfico com os eixos.
b) Determine os intervalos de crescimento e descrescimento e os pontos de máximos e mínimos locais de
, caso existam.
c) Determine os intervalos de concavidade para cima e para baixo e o(s) ponto(s) de inflexão de
, caso existam.
d) Determine as assíntotas ao gráfico de
, caso existam.
e) Esboce o gráfico de
.
a) Determine o domínio de
b) Determine os intervalos de crescimento e descrescimento e os pontos de máximos e mínimos locais de
c) Determine os intervalos de concavidade para cima e para baixo e o(s) ponto(s) de inflexão de
d) Determine as assíntotas ao gráfico de
e) Esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede, em cada item:
a) determinar o domínio de e as interseções do gráfico com os eixos;
b) determinar intervalos de crescimento e de decrescimento e pontos de máximo/mínimo locais;
c) determinar intervalos de concavidade para cima e para baixo e pontos de inflexão;
d) determinar as assíntotas do gráfico;
e) esboçar o gráfico de .
a) determinar o domínio de
b) determinar intervalos de crescimento e de decrescimento e pontos de máximo/mínimo locais;
c) determinar intervalos de concavidade para cima e para baixo e pontos de inflexão;
d) determinar as assíntotas do gráfico;
e) esboçar o gráfico de
Informações relevantes fornecidas (já presentes no enunciado):
- A expressão analítica de
é . - Não há figura adicional fornecida.
Passo 2
Domínio e interseções com os eixos — passo a passo didático.
Regra sobre domínio: uma função racional
está definida quando
. Aqui
.
Calcule se o denominador pode ser zero:
o que não tem solução real. Logo o denominador é sempre positivo para todo
.
Portanto o domínio é
Interseção com o eixo
(ou seja,
):
então o ponto é
.
Interseção com o eixo
: resolver
. Uma fração é zero quando o numerador é zero (e o denominador não é zero). Numerador
implica
. Assim o único ponto de interseção com o eixo
é também
.
Observação de simetria (útil depois):
depende de
, logo é função par, isto é,
. Isso implica simetria em relação ao eixo
.
Passo 3
Derivada primeira — cálculo detalhado e explicação das regras.
Motivação didática: para estudar crescimento/decrescimento usamos a derivada
. É prático reescrever
como
pois
. Essa escrita facilita derivar usando a regra da cadeia.
Derive o termo
. Aplicando a regra da cadeia:
- derivada de
é (primeiro expoente vezes derivada do interior),
logo
Multiplicando por
,
Como a derivada de
é
, obtemos
Comentário rápido: também daria para usar a regra do quociente; o resultado é o mesmo.
Passo 4
Análise de sinais de
, monotonicidade e extremos locais — com interpretação.
Localize pontos críticos: são pontos onde
ou
indefinida. Aqui o denominador de
nunca é zero (pois
para todo real), então só
quando o numerador
, ou seja
. Assim há um único ponto crítico em
.
Análise de sinal de
:
- O denominador é sempre positivo.
- O sinal de
é o mesmo do sinal de , portanto: - Para
: (função decresce). - Para
: (função cresce).
- Para
Conclusão sobre monotonicidade:
Classificação do ponto crítico
: como a derivada muda de negativa para positiva passando por
, isso indica um mínimo local. Valor do mínimo:
Não há máximos locais (nenhum ponto onde a derivada muda de positiva para negativa).
Passo 5
Derivada segunda — cálculo completo e explicação da regra usada.
Queremos
para estudar concavidade. Partimos de
Use a regra do produto: se
e
, então
Calcule:
e usando a regra da cadeia para
:
Portanto
Colocando sobre o mesmo denominador
,
Simplifique o numerador:
Logo
Breve interpretação: o denominador é sempre positivo; o sinal de
vem do fator
.
Passo 6
Concavidade e pontos de inflexão — análise de sinais e conclusão.
Encontre onde
: o numerador
quando
, isto é
. Como
é definido para todos os
, esses pontos são candidatos a pontos de inflexão.
Determine o sinal de
(usar o fator
):
- Para
(isto é ): então → concavidade para cima. - Para
(ou seja ou ): então → concavidade para baixo.
Portanto:
Pontos de inflexão: em
a concavidade troca de sinal, logo são pontos de inflexão. Valores de
nesses pontos:
Assim os pontos de inflexão são
e
.
Passo 7
Assíntotas — limites e interpretação.
Vertical: vertical ocorre onde a função tende a infinito em ponto do domínio onde a função não é definida. Aqui a função está definida em todo
e é limitada (pois
, ver abaixo). Portanto não há assíntotas verticais.
Horizontal: analisar
. Como o grau do numerador e do denominador são iguais (ambos 2), o limite é a razão dos coeficientes líderes:
Portanto existe uma assíntota horizontal:
Observação sobre como a função se aproxima de
: reescrevendo
vê-se que
para todo
, logo
para todo
e aproxima-se de
por baixo quando
.
Oblíqua: nenhuma, porque já existe assíntota horizontal e o grau do numerador não é maior que o do denominador.
Passo 8
Esboço do gráfico — descrição prática com pontos e comportamento (para poder desenhar na prova).
Pontos e informações-chave para desenhar:
- Domínio: todo
. - Simetria:
é par, simétrica em relação ao eixo . - Interseção com eixos: único ponto
(mínimo local). - Mínimo local global (neste caso) em
com valor . - Crescimento/decrescimento: decresce em
, cresce em . - Concavidade: concava para baixo em
e ; concava para cima em . - Pontos de inflexão:
e . - Assíntota horizontal:
; a curva aproxima-se de por baixo quando . - Valores notáveis:
; .
Sugestão de desenho mental / na prova:
- Marcar o eixo
e o ponto . - Traçar a curva decrescendo à esquerda de
, mudando de concavidade (de baixo para cima) em com valor , continuando para a esquerda concavando para baixo e aproximando-se de por baixo. - À direita, simetria: subir a partir de
, passar pelo ponto de inflexão (concavidade troca), e aproximar-se de por baixo para .
Isso fornece um esboço fiel: um “vale” em
tocando
, e duas “asíntotas horizontais” à altura
que a curva alcança apenas no infinito.
Resposta
a)
Interseções com os eixos: único ponto
.
b) .
é decrescente em
e crescente em
. Ponto crítico em
é mínimo local com
. Não há máximos locais.
c) .
é côncava para cima em
e côncava para baixo em
. Pontos de inflexão em
e
.
d) Não há assíntotas verticais. Assíntota horizontal: . Não há assíntota oblíqua.
e) Esboço: função par, mínimo em , passa por
(pontos de inflexão), cresce para os lados aproximando-se de
por baixo quando
.
b)
c)
d) Não há assíntotas verticais. Assíntota horizontal:
e) Esboço: função par, mínimo em