Considere a função
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+3}
e faça o que se pede em cada item a seguir.
a) Determine o domínio de f e as interseções de seu gráfico com os eixos.
b) Determine os intervalos de crescimento e descrescimento e os pontos de máximos e mínimos locais de f, caso existam.
c) Determine os intervalos de concavidade para cima e para baixo e o(s) ponto(s) de inflexão de f, caso existam.
d) Determine as assíntotas ao gráfico de f, caso existam.
e) Esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+3}
e pede, em cada item:
a) determinar o domínio de f e as interseções do gráfico com os eixos;
b) determinar intervalos de crescimento e de decrescimento e pontos de máximo/mínimo locais;
c) determinar intervalos de concavidade para cima e para baixo e pontos de inflexão;
d) determinar as assíntotas do gráfico;
e) esboçar o gráfico de f.
Informações relevantes fornecidas (já presentes no enunciado):
  • A expressão analítica de f é \dfrac{x^{2}}{x^{2}+3}.
  • Não há figura adicional fornecida.

Passo 2

Domínio e interseções com os eixos — passo a passo didático.
Regra sobre domínio: uma função racional \dfrac{p(x)}{q(x)} está definida quando q(x)\neq0. Aqui q(x)=x^{2}+3.
Calcule se o denominador pode ser zero:
x^{2}+3=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=-3,
o que não tem solução real. Logo o denominador é sempre positivo para todo x\in\mathbb{R}.
Portanto o domínio é
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}.
Interseção com o eixo y (ou seja, x=0):
f(0)=\frac{0^{2}}{0^{2}+3}=0,
então o ponto é (0,0).
Interseção com o eixo x: resolver f(x)=0. Uma fração é zero quando o numerador é zero (e o denominador não é zero). Numerador x^{2}=0 implica x=0. Assim o único ponto de interseção com o eixo x é também (0,0).
Observação de simetria (útil depois): f(x) depende de x^{2}, logo é função par, isto é, f(-x)=f(x). Isso implica simetria em relação ao eixo y.

Passo 3

Derivada primeira — cálculo detalhado e explicação das regras.
Motivação didática: para estudar crescimento/decrescimento usamos a derivada f'(x). É prático reescrever f como
f(x)=1-\frac{3}{x^{2}+3},
pois \dfrac{x^{2}}{x^{2}+3}=1-\dfrac{3}{x^{2}+3}. Essa escrita facilita derivar usando a regra da cadeia.
Derive o termo -\dfrac{3}{x^{2}+3}=-3(x^{2}+3)^{-1}. Aplicando a regra da cadeia:
  • derivada de (x^{2}+3)^{-1} é -1\cdot(x^{2}+3)^{-2}\cdot(2x) (primeiro expoente vezes derivada do interior),
    logo
\frac{d}{dx}\big((x^{2}+3)^{-1}\big)=-\frac{2x}{(x^{2}+3)^{2}}.
Multiplicando por -3,
\frac{d}{dx}\left(-3(x^{2}+3)^{-1}\right)=-3\cdot\left(-\frac{2x}{(x^{2}+3)^{2}}\right)=\frac{6x}{(x^{2}+3)^{2}}.
Como a derivada de 1 é 0, obtemos
f'(x)=\frac{6x}{(x^{2}+3)^{2}}.
Comentário rápido: também daria para usar a regra do quociente; o resultado é o mesmo.

Passo 4

Análise de sinais de f', monotonicidade e extremos locais — com interpretação.
Localize pontos críticos: são pontos onde f'(x)=0 ou f' indefinida. Aqui o denominador de f' nunca é zero (pois (x^{2}+3)^{2}>0 para todo real), então só f'(x)=0 quando o numerador 6x=0, ou seja x=0. Assim há um único ponto crítico em x=0.
Análise de sinal de f'(x)=\dfrac{6x}{(x^{2}+3)^{2}}:
  • O denominador é sempre positivo.
  • O sinal de f' é o mesmo do sinal de 6x, portanto:
    • Para x<0: f'(x)<0 (função decresce).
    • Para x>0: f'(x)>0 (função cresce).
Conclusão sobre monotonicidade:
\text{decrescente em }(-\infty,0);\qquad \text{crescente em }(0,\infty).
Classificação do ponto crítico x=0: como a derivada muda de negativa para positiva passando por x=0, isso indica um mínimo local. Valor do mínimo:
f(0)=0.
Não há máximos locais (nenhum ponto onde a derivada muda de positiva para negativa).

Passo 5

Derivada segunda — cálculo completo e explicação da regra usada.
Queremos f''(x) para estudar concavidade. Partimos de
f'(x)=6x(x^{2}+3)^{-2}.
Use a regra do produto: se u(x)=6x e v(x)=(x^{2}+3)^{-2}, então
f''(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Calcule:
u'(x)=6,
e usando a regra da cadeia para v'(x):
v'(x)=-2(x^{2}+3)^{-3}\cdot(2x)=-\frac{4x}{(x^{2}+3)^{3}}.
Portanto
f''(x)=6\cdot (x^{2}+3)^{-2} + 6x\cdot\left(-\frac{4x}{(x^{2}+3)^{3}}\right).
Colocando sobre o mesmo denominador (x^{2}+3)^{3},
f''(x)=\frac{6(x^{2}+3)}{(x^{2}+3)^{3}} - \frac{24x^{2}}{(x^{2}+3)^{3}} = \frac{6(x^{2}+3)-24x^{2}}{(x^{2}+3)^{3}}.
Simplifique o numerador:
6(x^{2}+3)-24x^{2}=6x^{2}+18-24x^{2}=18-18x^{2}=18(1-x^{2}).
Logo
f''(x)=\frac{18(1-x^{2})}{(x^{2}+3)^{3}}.
Breve interpretação: o denominador é sempre positivo; o sinal de f'' vem do fator 1-x^{2}.

Passo 6

Concavidade e pontos de inflexão — análise de sinais e conclusão.
Encontre onde f''(x)=0: o numerador 18(1-x^{2})=0 quando 1-x^{2}=0, isto é x=\pm1. Como f'' é definido para todos os x, esses pontos são candidatos a pontos de inflexão.
Determine o sinal de f'' (usar o fator 1-x^{2}):
  • Para |x|<1 (isto é -1<x<1): 1-x^{2}>0 então f''(x)>0 → concavidade para cima.
  • Para |x|>1 (ou seja x<-1 ou x>1): 1-x^{2}<0 então f''(x)<0 → concavidade para baixo.
Portanto:
\text{concava para cima em }(-1,1); \qquad \text{concava para baixo em }(-\infty,-1)\cup(1,\infty).
Pontos de inflexão: em x=\pm1 a concavidade troca de sinal, logo são pontos de inflexão. Valores de f nesses pontos:
f(\pm1)=\frac{1^{2}}{1^{2}+3}=\frac{1}{4}.
Assim os pontos de inflexão são \left(-1,\frac{1}{4}\right) e \left(1,\frac{1}{4}\right).

Passo 7

Assíntotas — limites e interpretação.
Vertical: vertical ocorre onde a função tende a infinito em ponto do domínio onde a função não é definida. Aqui a função está definida em todo \mathbb{R} e é limitada (pois 0\le f(x)<1, ver abaixo). Portanto não há assíntotas verticais.
Horizontal: analisar \lim_{x\to\pm\infty} f(x). Como o grau do numerador e do denominador são iguais (ambos 2), o limite é a razão dos coeficientes líderes:
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^{2}}{x^{2}+3}=1.
Portanto existe uma assíntota horizontal:
y=1.
Observação sobre como a função se aproxima de 1: reescrevendo f(x)=1-\dfrac{3}{x^{2}+3} vê-se que \dfrac{3}{x^{2}+3}>0 para todo x, logo f(x)<1 para todo x e aproxima-se de 1 por baixo quando |x|\to\infty.
Oblíqua: nenhuma, porque já existe assíntota horizontal e o grau do numerador não é maior que o do denominador.

Passo 8

Esboço do gráfico — descrição prática com pontos e comportamento (para poder desenhar na prova).
Pontos e informações-chave para desenhar:
  • Domínio: todo \mathbb{R}.
  • Simetria: f é par, simétrica em relação ao eixo y.
  • Interseção com eixos: único ponto (0,0) (mínimo local).
  • Mínimo local global (neste caso) em x=0 com valor f(0)=0.
  • Crescimento/decrescimento: decresce em (-\infty,0), cresce em (0,\infty).
  • Concavidade: concava para baixo em (-\infty,-1) e (1,\infty); concava para cima em (-1,1).
  • Pontos de inflexão: \left(-1,\tfrac{1}{4}\right) e \left(1,\tfrac{1}{4}\right).
  • Assíntota horizontal: y=1; a curva aproxima-se de y=1 por baixo quando x\to\pm\infty.
  • Valores notáveis: f(\pm1)=\tfrac{1}{4}; f(0)=0.
Sugestão de desenho mental / na prova:
  1. Marcar o eixo y e o ponto (0,0).
  2. Traçar a curva decrescendo à esquerda de 0, mudando de concavidade (de baixo para cima) em x=-1 com valor 1/4, continuando para a esquerda concavando para baixo e aproximando-se de y=1 por baixo.
  3. À direita, simetria: subir a partir de 0, passar pelo ponto de inflexão \left(1,\tfrac{1}{4}\right) (concavidade troca), e aproximar-se de y=1 por baixo para x\to+\infty.
Isso fornece um esboço fiel: um “vale” em x=0 tocando y=0, e duas “asíntotas horizontais” à altura y=1 que a curva alcança apenas no infinito.

Resposta

a) \text{Dom}(f)=\mathbb{R}. Interseções com os eixos: único ponto (0,0).
b) f'(x)=\dfrac{6x}{(x^{2}+3)^{2}}. f é decrescente em (-\infty,0) e crescente em (0,\infty). Ponto crítico em x=0 é mínimo local com f(0)=0. Não há máximos locais.
c) f''(x)=\dfrac{18(1-x^{2})}{(x^{2}+3)^{3}}. f é côncava para cima em (-1,1) e côncava para baixo em (-\infty,-1)\cup(1,\infty). Pontos de inflexão em \left(-1,\tfrac{1}{4}\right) e \left(1,\tfrac{1}{4}\right).
d) Não há assíntotas verticais. Assíntota horizontal: y=1. Não há assíntota oblíqua.
e) Esboço: função par, mínimo em (0,0), passa por (\pm1,\tfrac{1}{4}) (pontos de inflexão), cresce para os lados aproximando-se de y=1 por baixo quando x\to\pm\infty.

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