Das situaçc̃es abaixo indique quais v.a. tem distribuição binomial e quais tem distribuição hipergeométrica e justifique:
Uma urna contem 10 bolas pretas e 5 bolas vermelhas. Seja X uma v.a. que conta o número de bolas vermelhas estraidas em duas extrações com reposição.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos uma urna com 10 bolas pretas e 5 bolas vermelhas. A gente vai extrair duas bolas, mas COM REPOSIÇÃO, e X é o número de bolas vermelhas que saem nessas duas extrações.
Conteúdo: distribuição de probabilidade (binomial vs. hipergeométrica). Pra resolver, a gente precisa saber a diferença entre tirar com reposição (eventos independentes, prob. constante) e sem reposição (eventos dependentes, hipergeométrica).

Passo 2

Como é COM REPOSIÇÃO, cada extração é independente e a chance de sair vermelha em cada extração não muda.
– Número de tentativas n = 2.
– Probabilidade de “sucesso” (tirar vermelha) em cada tentativa p = 5/(10+5) = 5/15 = 1/3.
Quando temos número fixo de tentativas, cada tentativa é sucesso ou fracasso, independentes e com mesma p, estamos no caso da distribuição binomial.

Passo 3

Vamos lembrar a fórmula da Binomial:
P(X = k) = binomnk,p^k,(1-p)^,n-k, k = 0,1,dots,n
Aqui n=2 e p=1/3, então
P(X = k) = binom2kl(tfrac13r)^kl(tfrac23r)^2-k

Passo 4

Justificando a escolha:
  • Distribuição hipergeométrica rola quando NÃO há reposição e as extrações são dependentes.
  • Mas como tem reposição, cada extração “não interfere” na próxima, e a probabilidade é constante: é o cenário clássico de binomial.

Resposta

X segue uma Distribuição Binomial com parâmetros n = 2 e p = 1/3.
Ou seja,
Xsim Binl(2,tfrac13r),
com
P(X = k) = binom2kl(tfrac13r)^kl(tfrac23r)^2-k, k=0,1,2

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