Das situaçc̃es abaixo indique quais v.a. tem distribuição binomial e quais tem distribuição hipergeométrica e justifique:
Um terço de uma determinada população (estimada em 25 milhões de pessoa) é do sexo masculino. Seja
a variável aleatória que conta o número de pessoas do sexo masculino em uma amostra de tamanho 10.
Um terço de uma determinada população (estimada em 25 milhões de pessoa) é do sexo masculino. Seja
Passo 1
Beleza, vamos primeiro entender o que o exercício está pedindo. Temos:
- Uma população finita de
de pessoas. - Dessas, um terço são do sexo masculino, ou seja,
“sucessos” na população. - Sorteamos uma amostra de tamanho
sem reposição e definimos número de homens na amostra.
Conteúdo: distribuições discretas (binomial vs. hipergeométrica). Pra resolver a gente vai precisar:
- lembrar quando usar binomial;
- lembrar quando usar hipergeométrica;
- aplicar isso ao nosso caso.
Passo 2
Teoria: distribuição hipergeométrica
Quando a gente tira uma amostra sem reposição de uma população finita, a quantidade de “sucessos” na amostra segue a distribuição hipergeométrica. Os parâmetros são:
Quando a gente tira uma amostra sem reposição de uma população finita, a quantidade de “sucessos” na amostra segue a distribuição hipergeométrica. Os parâmetros são:
-
: tamanho da população, -
: número total de sucessos na população, -
: tamanho da amostra.
A probabilidade de obter exatamentesucessos é
Passo 3
Teoria: distribuição binomial
Usamos distribuição binomial quando temos ensaios independentes com mesma probabilidade
de sucesso em cada ensaio (geralmente modelado como “com reposição” ou “população infinita”).
Usamos distribuição binomial quando temos
Passo 4
Aplicando ao exercício:
- Sem reposição e população finita (
, , ) → hipergeométrica. - Mesmo assim, como
é super grande e é muito pequeno, a dependência entre os sorteios é quase zero. Aí a gente aproxima por uma binomial com .
Resposta
Z tem distribuição hipergeométrica exata com
e, por aproximação (já que
), pode ser tratado como