Das situaçc̃es abaixo indique quais v.a. tem distribuição binomial e quais tem distribuição hipergeométrica e justifique:
Um terço de uma determinada população (estimada em 25 milhões de pessoa) é do sexo masculino. Seja Z a variável aleatória que conta o número de pessoas do sexo masculino em uma amostra de tamanho 10.

Passo 1

Beleza, vamos primeiro entender o que o exercício está pedindo. Temos:
  • Uma população finita de õ de pessoas.
  • Dessas, um terço são do sexo masculino, ou seja, “sucessos” na população.
  • Sorteamos uma amostra de tamanho sem reposição e definimos número de homens na amostra.
    Conteúdo: distribuições discretas (binomial vs. hipergeométrica). Pra resolver a gente vai precisar:
  1. lembrar quando usar binomial;
  2. lembrar quando usar hipergeométrica;
  3. aplicar isso ao nosso caso.

Passo 2

Teoria: distribuição hipergeométrica
Quando a gente tira uma amostra sem reposição de uma população finita, a quantidade de “sucessos” na amostra segue a distribuição hipergeométrica. Os parâmetros são:
  • P(Z=z) =binomKz,binomN-K,n-z,binomNn, : tamanho da população,
  • : número total de sucessos na população,
  • : tamanho da amostra.
    A probabilidade de obter exatamente sucessos é

Passo 3

Teoria: distribuição binomial
Usamos distribuição binomial quando temos P(Z=z)=binomnz,p^z,(1-p)^,n-z, ensaios independentes com mesma probabilidade de sucesso em cada ensaio (geralmente modelado como “com reposição” ou “população infinita”).

Passo 4

Aplicando ao exercício:
  • Sem reposição e população finita ( , , ) → hipergeométrica.
  • Mesmo assim, como é super grande e é muito pequeno, a dependência entre os sorteios é quase zero. Aí a gente aproxima por uma binomial com .

Resposta

Z tem distribuição hipergeométrica exata com
Zsim Hyper>=ometricl(N=25times10^6,;K=tfrac13,N,;n=10r)
e, por aproximação (já que Zapprox Binomiall(n=10,;p=tfrac13r), ), pode ser tratado como

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