Suponha que um estudande faz um exame que contém 5 questões de múltipla escolha. Cada pergunta vale dois pontos e tem 4 opções possíveis para marcar. Considere que ele não sabe nada do conteúdo e defina a variável aleatória como o número de respostas corretas no exame. Obtenha a distribuição de X e calcule a probabilidade deste estudante tirar 8,0 pontos ou mais.

Passo 1

Então, o enunciado diz o seguinte: um aluno faz um exame com 5 perguntas de múltipla escolha (cada uma vale 2 pontos), ele não manja nada do conteúdo e chuta tudo. Cada questão tem 4 opções, só uma certa. A variável aleatória é o número de acertos. A gente precisa:
  1. escrever a distribuição de (ou seja, a função massa de probabilidade)
  2. calcular a probabilidade de ele tirar 8,0 pontos ou mais
    Conteúdo que vamos usar: distribuição Binomial (porque é um cenário de “sucesso/fracasso” com chutes independentes).

Passo 2

Como cada chute tem probabilidade X sim Binomial(n=5, p=tfrac14) de dar certo, e são P(X = k) ;=; binom5k,l(tfrac14r)^k,l(tfrac34r)^5-k questões independentes, temos
Por definição de Binomial, para ,
Aqui é o número de jeitos de escolher acertos entre 5.

Passo 3

Agora, cada acerto vale 2 pontos. Se ele acertar Nota = 2k questões, a nota é
2k ;>=;8 Longrightarrow k ;>=;4
Queremos a probabilidade de nota P(nota>=8) = P(X >= 4) = P(X=4) + P(X=5) . Então
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Passo 4

Calcular cada termo:
  1. Para P(X=4) = binom54l(tfrac14r)^4l(tfrac34r)^1 = 5 times 14^4times 34 = 5 times 1256times 34 = 151024 :
P(X=5) = binom55l(tfrac14r)^5l(tfrac34r)^0 = 1times 14^5 = 11024
  1. Para P(X>=4) = 151024 + 11024 = 161024 = 164 ;approx;0,015625 :
Somando:

Resposta

Distribuição de P(X=k)=binom5kl(tfrac14r)^kl(tfrac34r)^5-k, k=0,1,2,3,4,5 :
P(nota>=8) = P(X>=4) = tfrac164approx0,015625
Probabilidade de o aluno tirar pelo menos 8,0 pontos:

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