Suponha que um estudande faz um exame que contém 5 questões de múltipla escolha. Cada pergunta vale dois pontos e tem 4 opções possíveis para marcar. Considere que ele não sabe nada do conteúdo e defina a variável aleatória como o número de respostas corretas no exame. Obtenha a distribuição de X e calcule a probabilidade deste estudante tirar 8,0 pontos ou mais.
Passo 1
Então, o enunciado diz o seguinte: um aluno faz um exame com 5 perguntas de múltipla escolha (cada uma vale 2 pontos), ele não manja nada do conteúdo e chuta tudo. Cada questão tem 4 opções, só uma certa. A variável aleatória
é o número de acertos. A gente precisa:
- escrever a distribuição de
(ou seja, a função massa de probabilidade) - calcular a probabilidade de ele tirar 8,0 pontos ou mais
Conteúdo que vamos usar: distribuição Binomial (porque é um cenário de “sucesso/fracasso” com chutes independentes).
Passo 2
Como cada chute tem probabilidade
de dar certo, e são
questões independentes, temos
Por definição de Binomial, para
,
Aqui
é o número de jeitos de escolher
acertos entre 5.
Passo 3
Agora, cada acerto vale 2 pontos. Se ele acertar
questões, a nota é
Queremos a probabilidade de nota
. Então
Logo
Passo 4
Calcular cada termo:
- Para
:
- Para
:
Somando:
Resposta
Distribuição de
:
Probabilidade de o aluno tirar pelo menos 8,0 pontos: