Sja a matriz A=[ll7 & 2 2 & 4]
a) Encontre seus autovalores e autovetores.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz $ A = A = 7 & 2 2 & 4 $. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Precisamos entender como determinar esses valores e vetores que satisfazem a equação $ A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} $, onde $ \lambda $ é o autovalor e $ \mathbf{v} $ é o autovetor correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz $ A $. Para isso, usamos a equação característica:
A
Aqui, $ I $ é a matriz identidade de ordem 2. Vamos montar $ A - \lambda I $:
det(A - lambda I) = 0
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
I

Passo 3

Vamos expandir a expressão:
(7 - lambda)(4 - lambda) = 7 times 4 - 7lambda - 4lambda + lambda^2 = 28 - 11lambda + lambda^2
Substituindo de volta na equação do determinante:
28 - 11lambda + lambda^2 - 4 = lambda^2 - 11lambda + 24 = 0
Agora, temos uma equação quadrática para resolver:
lambda^2 - 11lambda + 24 = 0

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática $ \lambda^2 - 11\lambda + 24 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
lambda^2 - 11lambda + 24 = 0
lambda = 11 pm raiz(-11)^2 - 4 times 1 times 242 times 1 = 11 pm raiz121 - 962 = 11 pm raiz252
Então, temos duas soluções:
lambda = 11 pm 52

Passo 5

Agora que temos os autovalores $ \lambda_1 = 8 $ e $ \lambda_2 = 3 $, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.
Primeiro, para $ \lambda_1 = 8 $, resolvemos $ (A - 8I)\mathbf{v} = 0 $:
lambda1 = 8
Isso nos dá o sistema:
lambda2 = 3
lambda1 = 8
Podemos simplificar a primeira equação:
(A - 8I)v = 0
Escolhemos $ v_2 = 1 $ (podemos escolher qualquer valor, já que autovetores são definidos até uma constante múltipla), então:
A - 8I = 7 - 8 & 2 2 & 4 - 8 = -1 & 2 2 & -4
Portanto, o autovetor correspondente a $ \lambda_1 = 8 $ é $ \mathbf{v}_1 = -1 cdot v1 + 2 cdot v2 = 0 $.

Passo 6

Agora, para $ \lambda_2 = 3 $, resolvemos $ (A - 3I)\mathbf{v} = 0 $:
lambda2 = 3
Isso nos dá o sistema:
(A - 3I)v = 0
A - 3I = 7 - 3 & 2 2 & 4 - 3 = 4 & 2 2 & 1
Podemos simplificar a segunda equação:
4 cdot v1 + 2 cdot v2 = 0
Escolhemos $ v_1 = 1 $, então:
2 cdot v1 + 1 cdot v2 = 0
Portanto, o autovetor correspondente a $ \lambda_2 = 3 $ é $ \mathbf{v}_2 = 2v1 + v2 = 0 Rightarrow v2 = -2v1 $.

Resposta

Os autovalores da matriz $ A $ são $ \lambda_1 = 8 $ e $ \lambda_2 = 3 $, com os respectivos autovetores:
A

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