Sja a matriz
a) Encontre seus autovalores e autovetores.
a) Encontre seus autovalores e autovetores.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz $ A =
$. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Precisamos entender como determinar esses valores e vetores que satisfazem a equação $ A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} $, onde $ \lambda $ é o autovalor e $ \mathbf{v} $ é o autovetor correspondente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz $ A $. Para isso, usamos a equação característica:
Aqui, $ I $ é a matriz identidade de ordem 2. Vamos montar $ A - \lambda I $:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 3
Vamos expandir a expressão:
Substituindo de volta na equação do determinante:
Agora, temos uma equação quadrática para resolver:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática $ \lambda^2 - 11\lambda + 24 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Passo 5
Agora que temos os autovalores $ \lambda_1 = 8 $ e $ \lambda_2 = 3 $, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.
Primeiro, para $ \lambda_1 = 8 $, resolvemos $ (A - 8I)\mathbf{v} = 0 $:
Isso nos dá o sistema:
Podemos simplificar a primeira equação:
Escolhemos $ v_2 = 1 $ (podemos escolher qualquer valor, já que autovetores são definidos até uma constante múltipla), então:
Portanto, o autovetor correspondente a $ \lambda_1 = 8 $ é $ \mathbf{v}_1 =
$.
Passo 6
Agora, para $ \lambda_2 = 3 $, resolvemos $ (A - 3I)\mathbf{v} = 0 $:
Isso nos dá o sistema:
Podemos simplificar a segunda equação:
Escolhemos $ v_1 = 1 $, então:
Portanto, o autovetor correspondente a $ \lambda_2 = 3 $ é $ \mathbf{v}_2 =
$.
Resposta
Os autovalores da matriz $ A $ são $ \lambda_1 = 8 $ e $ \lambda_2 = 3 $, com os respectivos autovetores: