Sijam A, B linhas equivalentes
A=[rrrrr 1 & -3 & 4 & -1 & 9 -2 & 6 & -6 & -1 & -10 -3 & 9 & -6 & -6 & -3 3 & -9 & 4 & 9 & 0 ]
B=[rrrrr 1 & -3 & 0 & 5 & -7 0 & 0 & 2 & -3 & 8 0 & 0 & 0 & 0 & 5 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ]
Encontre:
a) posto A e dim(Nul A)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes, $ A $ e $ B $, que são linhas equivalentes, ou seja, uma pode ser obtida da outra através de operações nas linhas. A pergunta é para encontrar o posto de $ A $ (que é basicamente o número de linhas independentes) e a dimensão do núcleo de $ A $ (que mostra quantas soluções há para a equação $ A \mathbf{x} = \mathbf{0} $). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o posto da matriz, o núcleo e usar o Teorema do Posto e Núcleo.

Passo 2

Primeiro, já que $ A $ e $ B $ são linhas equivalentes, elas têm o mesmo posto. Olhando para a matriz $ B $, que está na forma escalonada, conseguimos identificar facilmente as linhas que contêm pivôs (os primeiros números diferentes de zero em cada linha).

Passo 3

Na matriz $ B $:
B
Temos pivôs nas três primeiras linhas (nas colunas 1, 3 e 5). A quarta linha é toda zero, então não contribui para o posto.

Passo 4

Então, o posto de $ B $ (e, portanto, de $ A $) é 3.

Passo 5

Agora, para encontrar a dimensão do núcleo de $ A $, usamos o Teorema do Posto e Núcleo, que diz:
A ú
Temos que o posto é 3 e o número de colunas de $ A $ é 5.

Passo 6

Aplicando o teorema:
3 + dim(Nul A) = 5
Então:
dim(Nul A) = 5 - 3 = 2

Resposta

O posto de $ A $ é 3 e a dimensão do núcleo de $ A $ é 2.

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