Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes, $ A $ e $ B $, que são linhas equivalentes, ou seja, uma pode ser obtida da outra através de operações nas linhas. A pergunta é para encontrar o posto de $ A $ (que é basicamente o número de linhas independentes) e a dimensão do núcleo de $ A $ (que mostra quantas soluções há para a equação $ A \mathbf{x} = \mathbf{0} $). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o posto da matriz, o núcleo e usar o Teorema do Posto e Núcleo.
Passo 2
Primeiro, já que $ A $ e $ B $ são linhas equivalentes, elas têm o mesmo posto. Olhando para a matriz $ B $, que está na forma escalonada, conseguimos identificar facilmente as linhas que contêm pivôs (os primeiros números diferentes de zero em cada linha).
Passo 3
Na matriz $ B $:
B
Temos pivôs nas três primeiras linhas (nas colunas 1, 3 e 5). A quarta linha é toda zero, então não contribui para o posto.
Passo 4
Então, o posto de $ B $ (e, portanto, de $ A $) é 3.
Passo 5
Agora, para encontrar a dimensão do núcleo de $ A $, usamos o Teorema do Posto e Núcleo, que diz:
A ú
Temos que o posto é 3 e o número de colunas de $ A $ é 5.
Passo 6
Aplicando o teorema:
3 + dim(Nul A) = 5
Então:
dim(Nul A) = 5 - 3 = 2
Resposta
O posto de $ A $ é 3 e a dimensão do núcleo de $ A $ é 2.