Skater Sully is riding a skateboard back and forth on a street that runs north/south. The twice-differentiable function S models Sully’s position on the street, measured by how many meters north he is from his starting point, at time t, measured in seconds from the start of his ride. The table below gives values of S(t) at selected times t.
t
seconds
0 20 30 60
S(t)
meters
0 -5 7 40
For 0 \leq t \leq 20, must there be a time t when Sully is 2 meters south of his starting point? Justify your answer.

Passo 1

O enunciado pergunta se, no intervalo de tempo [0,20], necessariamente existe um instante em que Sully está 2 metros ao sul do ponto de partida (ou seja, se existe t tal que S(t)=-2).\n
Informações dadas pelo enunciado que são relevantes e numéricas:
S(0)=0,\quad S(20)=-5.
Também é informado que S é duas vezes diferenciável (ou seja, S é diferenciável e sua derivada é diferenciável).

Passo 2

Primeiro eu te lembro um fato muito útil: se uma função é diferenciável em um intervalo, então ela é contínua nesse intervalo. Vou explicar rapidamente por que, sem jargão técnico demais. Diferenciável significa que o limite do quociente incremental existe:
S'(a)=\lim_{h\to0}\frac{S(a+h)-S(a)}{h}
quando esse limite existe, o numerador S(a+h)-S(a) tem que tender a 0 quando h\to0. Isso implica que S(a+h)\to S(a), que é justamente a definição de continuidade em a. Como S é duas vezes diferenciável em todo o intervalo considerado, ela é contínua em [0,20].

Passo 3

Agora vou ensinar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) de forma prática e direta, que é a ferramenta que usamos aqui. O TVI diz o seguinte: se uma função f é contínua num intervalo fechado [a,b] e L é um número entre f(a) e f(b) (isto é, ou f(a)\le L\le f(b) ou f(b)\le L\le f(a)), então existe pelo menos um ponto c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=L.\n
Intuição simples: uma função contínua não “pula” valores; ao ir de f(a) até f(b) ela passa por todos os valores entre eles. Por isso, se L está entre os valores das extremidades, algum ponto intermediário atinge L.

Passo 4

Aplicando o TVI ao nosso problema: tomamos f=S, a=0, b=20 e o valor alvo L=-2.\n
Verificações exigidas pelo TVI:
  1. Continuidade: já vimos no Passo 2 que S é contínua em [0,20] porque é diferenciável ali.\n
  2. O valor alvo L=-2 está entre S(0) e S(20). Compare:
S(0)=0>-2\quad\text{e}\quad S(20)=-5<-2.
Portanto -2 está entre S(0) e S(20).\n
Como as hipóteses do TVI estão satisfeitas, concluímos que existe pelo menos um t em (0,20) com S(t)=-2.

Passo 5

Um exemplo rápido para fixar: considere a função linear g(t)=-2t no intervalo [0,1]. Temos g(0)=0 e g(1)=-2; o valor -1 está entre 0 e -2, então pelo TVI existe c\in(0,1) com g\text{(c)}=-1 (nesse caso c=\tfrac12). A mesma ideia foi usada no problema de verdade: não precisamos encontrar explicitamente o instante, apenas saber que ele existe.

Passo 6

Dica de prova/questão de prova: quando o enunciado dá valores nos extremos de um intervalo e você precisa mostrar que a função atinge algum valor intermediário, pense imediatamente no Teorema do Valor Intermediário. Verifique continuidade (ou use diferenciabilidade para inferir continuidade) e que o valor alvo está entre os valores das extremidades. Isso é rápido e elegante na prova.

Resposta

Sim. Existe t\in(0,20) tal que S(t)=-2.

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