Skater Sully is riding a skateboard back and forth on a street that runs north/south. The twice-differentiable function
models Sully’s position on the street, measured by how many meters north he is from his starting point, at time
, measured in seconds from the start of his ride. The table below gives values of
at selected times
.
seconds
0
20
30
60
meters
0
-5
7
40
For
, must there be a time
when Sully is 2 meters south of his starting point? Justify your answer.
|
0 | 20 | 30 | 60 | ||
|
0 | -5 | 7 | 40 |
Passo 1
O enunciado pergunta se, no intervalo de tempo
, necessariamente existe um instante em que Sully está
metros ao sul do ponto de partida (ou seja, se existe
tal que
).\n
Informações dadas pelo enunciado que são relevantes e numéricas:
Informações dadas pelo enunciado que são relevantes e numéricas:
Também é informado que
é duas vezes diferenciável (ou seja,
é diferenciável e sua derivada é diferenciável).
Passo 2
Primeiro eu te lembro um fato muito útil: se uma função é diferenciável em um intervalo, então ela é contínua nesse intervalo. Vou explicar rapidamente por que, sem jargão técnico demais. Diferenciável significa que o limite do quociente incremental existe:
quando esse limite existe, o numerador
tem que tender a
quando
. Isso implica que
, que é justamente a definição de continuidade em
. Como
é duas vezes diferenciável em todo o intervalo considerado, ela é contínua em
.
Passo 3
Agora vou ensinar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) de forma prática e direta, que é a ferramenta que usamos aqui. O TVI diz o seguinte: se uma função
é contínua num intervalo fechado
e
é um número entre
e
(isto é, ou
ou
), então existe pelo menos um ponto
tal que
.\n
Intuição simples: uma função contínua não “pula” valores; ao ir de até
ela passa por todos os valores entre eles. Por isso, se
está entre os valores das extremidades, algum ponto intermediário atinge
.
Intuição simples: uma função contínua não “pula” valores; ao ir de
Passo 4
Aplicando o TVI ao nosso problema: tomamos
,
,
e o valor alvo
.\n
Verificações exigidas pelo TVI:
Verificações exigidas pelo TVI:
- Continuidade: já vimos no Passo 2 que
é contínua em porque é diferenciável ali.\n - O valor alvo
está entre e . Compare:
Portanto
está entre
e
.\n
Como as hipóteses do TVI estão satisfeitas, concluímos que existe pelo menos um em
com
.
Como as hipóteses do TVI estão satisfeitas, concluímos que existe pelo menos um
Passo 5
Um exemplo rápido para fixar: considere a função linear
no intervalo
. Temos
e
; o valor
está entre
e
, então pelo TVI existe
com
(nesse caso
). A mesma ideia foi usada no problema de verdade: não precisamos encontrar explicitamente o instante, apenas saber que ele existe.
Passo 6
Dica de prova/questão de prova: quando o enunciado dá valores nos extremos de um intervalo e você precisa mostrar que a função atinge algum valor intermediário, pense imediatamente no Teorema do Valor Intermediário. Verifique continuidade (ou use diferenciabilidade para inferir continuidade) e que o valor alvo está entre os valores das extremidades. Isso é rápido e elegante na prova.
Resposta
Sim. Existe
tal que
.