Um SLIT possui resposta em frequência dada por:
H(j omega)=4+j omega6+5 j omega+(j omega)^2
(a) Determine a equação diferencial (no domínio do tempo) relacionando a saída y(t) e a entrada x(t) desse sistema.

Passo 1

Aqui a gente tem um SLIT com resposta em frequência dada por H(jω)=\frac{4+jω}{6+5jω+(jω)^2}. O conteúdo envolvido é representação de sistemas LTI no domínio da frequência e como passar disso para uma equação diferencial no tempo, usando as propriedades da transformada de Fourier. Vamos precisar lembrar que na transformada de Fourier vale F{dy/dt}=jωY(jω) e F{d2y/dt2}=(jω)^2Y(jω).

Passo 2

Sabendo que H(jω)=Y(jω)/X(jω), podemos escrever a relação no domínio da frequência como:
l((jω)^2+5jω+6r),Y(jω)=l(4+jωr),X(jω)

Passo 3

Agora usamos a correspondência entre jω e derivadas no tempo: jωY(jω) corresponde a F{dy/dt} e (jω)^2Y(jω) corresponde a F{d2y/dt2}. Fazendo a transformada inversa em cada termo, temos:
d^2y(t)/dt^2+5,dy(t)/dt+6,y(t)=4,x(t)+dx(t)/dt

Resposta

d2y(t)/dt2 + 5,dy(t)/dt + 6,y(t) = 4,x(t) + dx(t)/dt

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