(1.5) Considere as funções
l f(x)=raizx-1 g(x)=x^2-2 x-2
Determine a função composta (f circ g)(x) e o seu domínio.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para encontrar a função composta (f circ g)(x) e o seu domínio. Estamos trabalhando com o conteúdo de funções compostas, que envolve combinar duas funções de maneira que o resultado de uma se torna a entrada da outra. Para isso, precisaremos substituir a função g(x) dentro da função f(x).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função composta. A notação (f circ g)(x) significa que vamos aplicar a função g(x) primeiro e depois aplicar a função f no resultado de g(x). Ou seja, (f circ g)(x) = f(g(x)).

Passo 3

Agora, vamos substituir g(x) na função f(x). Temos:
f(x) = raizx - 1
E
g(x) = x^2 - 2x - 2
Então, substituindo g(x) em f(x):
(f circ g)(x) = f(g(x)) = raizg(x) - 1 = raiz(x^2 - 2x - 2) - 1
Simplificando dentro da raiz:
raizx^2 - 2x - 3

Passo 4

Para encontrar o domínio da função composta, precisamos garantir que o que está dentro da raiz seja maior ou igual a zero, já que não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo. Assim, resolvemos a inequação:
x^2 - 2x - 3 >= 0
Vamos resolver a inequação:
Primeiro, encontrando as raízes da equação quadrática x^2 - 2x - 3 = 0:
x = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm raiz162 = 2 pm 42
Então, as soluções são x = 3 e x = -1.
A parábola x^2 - 2x - 3 abre para cima, então ela será maior ou igual a zero fora do intervalo entre as raízes. Portanto, o domínio é:
x <= -1 ou x >= 3

Resposta

A função composta é (f circ g)(x) = raizx^2 - 2x - 3 e o seu domínio é x <= -1 ou x >= 3.

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