Um SLIT com uma entrada e uma saída possui função de resposta ao impulso
h(t)=10^5 e^-10^4 t u(t)
(b) Determine uma expressão para a saída y(t) desse SLIT quando é aplicado à sua entrada o sinal
x(t)=sumk=0^3 10^k cos (10^2 k t)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema linear e invariante no tempo (SLIT) descrito pela função de resposta ao impulso:
h(t) = 10^5 e^-10^4 t u(t)
E uma entrada para esse sistema:
x(t) = sumk=0^3 10^k cos (10^2k t)
Nosso objetivo é encontrar a saída desse sistema, ou seja, determinar y(t) quando aplicamos x(t) a h(t). Para isso, vamos precisar utilizar o conceito de convolução, que é uma ferramenta fundamental na análise de sistemas lineares e invariantes no tempo.

Passo 2

Vamos lembrar que, para um sistema linear e invariante no tempo, a saída y(t) pode ser encontrada pela convolução da entrada x(t) com a resposta ao impulso h(t):
y(t) = x(t) * h(t)
A convolução é uma operação que combina duas funções para produzir uma terceira, que representa como o sistema “responde” a cada parte da entrada ao longo do tempo.

Passo 3

No entanto, em vez de realizar a convolução diretamente, vamos utilizar a propriedade de linearidade do SLIT. Isso significa que se a entrada é uma soma de funções, a saída será a soma das respostas a cada função individualmente. Ou seja:
y(t) = sumk=0^3 10^k [ cos (10^2k t) * h(t) ]

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a saída para cada termo da soma:
cos(omega t) * h(t)
Sabemos que a resposta do sistema a um cosseno é dada por:
cos(omega t) * h(t) = 10^5raiz(10^4)^2 + omega^2 (10^4 cos(omega t) + omega sin(omega t))
Isso vem da transformada de Fourier de h(t) e da propriedade de resposta a senos e cossenos em sistemas lineares.

Passo 5

Aplicando isso a cada termo da soma, temos que para cada k:
cos (10^2k t) * h(t) = 10^5raiz(10^4)^2 + (10^2k)^2 (10^4 cos (10^2k t) + 10^2k sin (10^2k t))

Passo 6

Substituindo de volta na expressão para y(t), temos:
y(t) = sumk=0^3 10^k cdot 10^5raiz10^8 + 10^4k (10^4 cos (10^2k t) + 10^2k sin (10^2k t))

Resposta

Portanto, a expressão para a saída y(t) do SLIT quando aplicado à entrada x(t) é:
y(t) = sumk=0^3 10^k+5 (10^4 cos (10^2k t) + 10^2k sin (10^2k t))raiz10^8 + 10^4k

Exercícios relacionados