Um SLIT com uma entrada e uma saída possui função de resposta ao impulso
(b) Determine uma expressão para a saída
desse SLIT quando é aplicado à sua entrada o sinal
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema linear e invariante no tempo (SLIT) descrito pela função de resposta ao impulso:
E uma entrada para esse sistema:
Nosso objetivo é encontrar a saída desse sistema, ou seja, determinar
quando aplicamos
a
. Para isso, vamos precisar utilizar o conceito de convolução, que é uma ferramenta fundamental na análise de sistemas lineares e invariantes no tempo.
Passo 2
Vamos lembrar que, para um sistema linear e invariante no tempo, a saída
pode ser encontrada pela convolução da entrada
com a resposta ao impulso
:
A convolução é uma operação que combina duas funções para produzir uma terceira, que representa como o sistema “responde” a cada parte da entrada ao longo do tempo.
Passo 3
No entanto, em vez de realizar a convolução diretamente, vamos utilizar a propriedade de linearidade do SLIT. Isso significa que se a entrada é uma soma de funções, a saída será a soma das respostas a cada função individualmente. Ou seja:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a saída para cada termo da soma:
Sabemos que a resposta do sistema a um cosseno é dada por:
Isso vem da transformada de Fourier de
e da propriedade de resposta a senos e cossenos em sistemas lineares.
Passo 5
Aplicando isso a cada termo da soma, temos que para cada
:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão para
, temos:
Resposta
Portanto, a expressão para a saída
do SLIT quando aplicado à entrada
é: