A small metal sphere, carrying a net charge of
, is held in a stationary position by insulating supports. A second small metal sphere, with a net charge of
and mass 1.50 g , is projected toward
.
When the two spheres are 0.800 m apart,
is moving toward
with speed
(Fig. E23.5). Assume that the two spheres can be treated as point charges. You can ignore the force of gravity.
What is the speed of
when the spheres are 0.400 m apart?
When the two spheres are 0.800 m apart,
What is the speed of
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos duas esferas metálicas pequenas com cargas elétricas: a primeira, $ q_1 = -2,80,\mu C $, está parada sustentada por suportes isolantes. A segunda, $ q_2 = -7,80,\mu C $, tem uma massa de 1,50 g e está sendo lançada em direção a $ q_1 $. Quando as esferas estão a 0,800 m de distância, $ q_2 $ está se movendo em direção a $ q_1 $ com uma velocidade de 22,0 m/s. Queremos descobrir qual será a velocidade de $ q_2 $ quando as esferas estiverem a 0,400 m de distância.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia mecânica conservada e energia potencial elétrica. A ideia é que a energia cinética inicial mais a energia potencial elétrica inicial será igual à energia cinética final mais a energia potencial elétrica final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das fórmulas que vamos precisar:
-
Energia Cinética (EC):onde $ m $ é a massa e $ v $ é a velocidade.
-
Energia Potencial Elétrica (U):onde $ k = 8,99 \times 10^9 , N·m²/C² $ é a constante de Coulomb, $ q_1 $ e $ q_2 $ são as cargas, e $ r $ é a distância entre elas.
Como estamos ignorando a força da gravidade e outras forças não conservativas, podemos afirmar que a energia mecânica total do sistema é conservada.
Passo 3
Vamos estabelecer a equação da conservação da energia:
Expressando cada termo:
Nosso objetivo é encontrar $ v_f $, a velocidade final.
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para isolar $ v_f $:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Agora, dividindo ambos os lados por $ m $:
Por fim, tiramos a raiz quadrada para encontrar $ v_f $:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores numéricos na equação:
- $ m = 1,50,g = 1,50 \times 10^{-3},kg $
- $ v_i = 22,0,m/s $
- $ q_1 = -2,80,\mu C = -2,80 \times 10^{-6},C $
- $ q_2 = -7,80,\mu C = -7,80 \times 10^{-6},C $
- $ r_i = 0,800,m $
- $ r_f = 0,400,m $
- $ k = 8,99 \times 10^9,N·m²/C² $
Substituindo na equação:
Vamos calcular passo a passo:
-
Calcular $ v_i^2 $:
-
Calcular a parte das cargas:
-
Calcular a diferença de inversos das distâncias:
-
Agora, calcular todo o termo dentro da raiz:Primeiro, simplificamos o denominador:Agora, multiplicamos:
-
Então, a expressão fica:
Resposta
A velocidade de $ q_2 $ quando as esferas estão a 0,400 m de distância é aproximadamente 12,53 m/s.