A small metal sphere, carrying a net charge of q1= -2.80 mu C, is held in a stationary position by insulating supports. A second small metal sphere, with a net charge of q2=-7.80 mu C and mass 1.50 g , is projected toward q1.
When the two spheres are 0.800 m apart, q2 is moving toward q1 with speed 22.0 m / s (Fig. E23.5). Assume that the two spheres can be treated as point charges. You can ignore the force of gravity.
What is the speed of q2 when the spheres are 0.400 m apart?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos duas esferas metálicas pequenas com cargas elétricas: a primeira, $ q_1 = -2,80,\mu C $, está parada sustentada por suportes isolantes. A segunda, $ q_2 = -7,80,\mu C $, tem uma massa de 1,50 g e está sendo lançada em direção a $ q_1 $. Quando as esferas estão a 0,800 m de distância, $ q_2 $ está se movendo em direção a $ q_1 $ com uma velocidade de 22,0 m/s. Queremos descobrir qual será a velocidade de $ q_2 $ quando as esferas estiverem a 0,400 m de distância.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia mecânica conservada e energia potencial elétrica. A ideia é que a energia cinética inicial mais a energia potencial elétrica inicial será igual à energia cinética final mais a energia potencial elétrica final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas que vamos precisar:
  1. Energia Cinética (EC):
    EC = 12 m v^2
    onde $ m $ é a massa e $ v $ é a velocidade.
  2. Energia Potencial Elétrica (U):
    m
    onde $ k = 8,99 \times 10^9 , N·m²/C² $ é a constante de Coulomb, $ q_1 $ e $ q_2 $ são as cargas, e $ r $ é a distância entre elas.
Como estamos ignorando a força da gravidade e outras forças não conservativas, podemos afirmar que a energia mecânica total do sistema é conservada.

Passo 3

Vamos estabelecer a equação da conservação da energia:
ECinicial + Uinicial = ECfinal + Ufinal
Expressando cada termo:
12 m vi^2 + k q1 q2ri = 12 m vf^2 + k q1 q2rf
Nosso objetivo é encontrar $ v_f $, a velocidade final.

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para isolar $ v_f $:
vf
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
12 m vf^2 = 12 m vi^2 + k q1 q2ri - k q1 q2rf
Agora, dividindo ambos os lados por $ m $:
m vf^2 = m vi^2 + 2k q1 q2ri - 2k q1 q2rf
Por fim, tiramos a raiz quadrada para encontrar $ v_f $:
m

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores numéricos na equação:
  • $ m = 1,50,g = 1,50 \times 10^{-3},kg $
  • $ v_i = 22,0,m/s $
  • $ q_1 = -2,80,\mu C = -2,80 \times 10^{-6},C $
  • $ q_2 = -7,80,\mu C = -7,80 \times 10^{-6},C $
  • $ r_i = 0,800,m $
  • $ r_f = 0,400,m $
  • $ k = 8,99 \times 10^9,N·m²/C² $
Substituindo na equação:
m = 1,50,g = 1,50 times 10^-3,kg
Vamos calcular passo a passo:
  1. Calcular $ v_i^2 $:
    vi = 22,0,m/s ²²
  2. Calcular a parte das cargas:
    q1 = -2,80,mu C = -2,80 times 10^-6,C ²
  3. Calcular a diferença de inversos das distâncias:
    q2 = -7,80,mu C = -7,80 times 10^-6,C
  4. Agora, calcular todo o termo dentro da raiz:
    ri = 0,800,m
    Primeiro, simplificamos o denominador:
    rf = 0,400,m ²
    Agora, multiplicamos:
    k = 8,99 times 10^9,N·m²/C²
  5. Então, a expressão fica:
    vf = raiz(22,0)^2 + 2 times 8,99 times 10^9 times (-2,80 times 10^-6) times (-7,80 times 10^-6)1,50 times 10^-3 (10,800 - 10,400)

Resposta

A velocidade de $ q_2 $ quando as esferas estão a 0,400 m de distância é aproximadamente 12,53 m/s.

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