Sob a ação do campo de forças F(x, y, z)=y^2 z imath+2 x y z jmath+x y^2 k uma partícula se move do ponto (1,0,1) ao ponto (1,1,1) ao longo de 3 caminhos:
(II) ao longo do arco de circunferência c:cx=cos (t) y=sen(t) z=1, 0 <= t <= pi2

Passo 1

O enunciado nos dá um campo de forças
F(x,y,z)=y^2 z,imath+2xyz,jmath+xy^2,k
e pede o trabalho da partícula que se move de (1,0,1) a (1,1,1) ao longo do arco de circunferência
x=cos(t), y=sin(t), z=1, 0<= t<= pi2
O conteúdo é integral de linha de um campo vetorial via parametrização.

Passo 2

Parametrizamos o caminho por
r(t) = (cos(t),,sin(t),,1)
e calculamos a derivada
r'(t) = (-sin(t),,cos(t),,0)

Passo 3

Substituímos r(t) em F. Como x=cos(t), y=sin(t), z=1, obtemos
F(r(t)) = sin^2(t),imath +2cos(t)sin(t),jmath +cos(t)sin^2(t),k

Passo 4

Calculamos o produto escalar
F(r(t))cdot r'(t) =sin^2(t)l(-sin(t)r) +2cos(t)sin(t),cos(t) =-sin^3(t)+2cos^2(t)sin(t)

Passo 5

O trabalho é
W=integral0^pi2l(-sin^3(t)+2cos^2(t)sin(t)r),dt
Fazendo a substituição u=cos(t), du=-sin(t),dt, em cada termo chega-se a
integral0^pi22cos^2(t)sin(t),dt=23, integral0^pi2sin^3(t),dt=23,
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W=23-23=0

Resposta

O trabalho realizado ao longo do arco é 0.

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