(15 pts) É o campo
conservativo em
? Se o for, encontre uma função potencial
para ele ;
Passo 1
O enunciado nos dá o campo
em
e pede para verificar se é conservativo (isto é, se existe
tal que
) e, em caso afirmativo, determinar uma função potencial
. Para isso, vamos usar o critério de campos conservativos em
(domínio simplesmente conexo e igualdade das derivadas parciais mistas) e depois integrar.
Passo 2
Denotando
e
, checamos
Como
e o domínio é
(simplesmente conexo), concluímos que
é conservativo.
Passo 3
Sendo conservativo, existe
tal que
. Integramos em
:
onde
é uma “constante” de integração, dependente só de
.
Passo 4
Para descobrir
, usamos
. Calculando
e igualando a
temos
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos
Podemos escolher
sem perder generalidade.
Resposta
Sim,
é conservativo e uma função potencial é