(15 pts) É o campo F(x, y)=(x+y) i+(x-y) j conservativo em R^2 ? Se o for, encontre uma função potencial Phi para ele ;

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vec F(x,y)=(x+y),vec i + (x-y),vec j em R^2 e pede para verificar se é conservativo (isto é, se existe Phi tal que nablaPhi=vec F) e, em caso afirmativo, determinar uma função potencial Phi(x,y). Para isso, vamos usar o critério de campos conservativos em R^2 (domínio simplesmente conexo e igualdade das derivadas parciais mistas) e depois integrar.

Passo 2

Denotando P(x,y)=x+y e Q(x,y)=x-y, checamos
partial Ppartial y = partial partial y(x+y) = 1,
partial Qpartial x = partial partial x(x-y) = 1
Como partial P/partial y=partial Q/partial x e o domínio é R^2 (simplesmente conexo), concluímos que vec F é conservativo.

Passo 3

Sendo conservativo, existe Phi tal que
Phix=P=x+y. Integramos em x:
Phi(x,y) = integral (x+y),dx = x^22+xy+g(y),
onde g(y) é uma “constante” de integração, dependente só de y.

Passo 4

Para descobrir g(y), usamos Phiy=Q=x-y. Calculando
Phiy = partialpartial yl(x^22+xy+g(y)r) = x+g'(y)
e igualando a x-y temos
x+g'(y)=x-y Longrightarrow g'(y)=-y Longrightarrow g(y)=-y^22+C

Passo 5

Substituindo g(y) em Phi, obtemos
Phi(x,y) = x^22+xy-y^22+C
Podemos escolher C=0 sem perder generalidade.

Resposta

Sim, vec F é conservativo e uma função potencial é
Phi(x,y)=x^22+xy-y^22

Exercícios relacionados