Sob certas circunstâncias, um boato se propaga de acor a equação
onde
é a proporção da população que já ouviu o b tempo
são constantes positivas. [Na Seção 9.4 v que esta é uma equação razoável para
.]
(a) Encontre
e interprete sua resposta.
(b) Encontre a taxa de propagação do boato.
(a) Encontre
(b) Encontre a taxa de propagação do boato.
Passo 1
O enunciado apresenta o modelo
onde
é a proporção da população que já ouviu o boato no tempo
e
,
são constantes. Precisamos (a) calcular
e interpretar, e (b) encontrar a taxa de propagação do boato, ou seja
.
Passo 2
Para
temos
. Então
Passo 3
A interpretação é que, segundo este modelo, à medida que o tempo cresce muito, toda a população acaba sabendo do boato, pois a proporção tende a
(isto é, 100 %).
Passo 4
Vamos derivar
usando a regra da cadeia. Defina
, de modo que
. Então
e, pelo fato de
, obtemos
Passo 5
Podemos reescrever essa derivada em função de
. Note que
logo
Assim,
Resposta
(a)
, ou seja, todos acabam sabendo do boato.
(b)
, que também pode ser escrita como
.