Sob certas circunstâncias, um boato se propaga de acor a equação
p(t)=11+a e^-k t
onde p(t) é a proporção da população que já ouviu o b tempo t e a e k são constantes positivas. [Na Seção 9.4 v que esta é uma equação razoável para p(t).]
(a) Encontre lim x infty p(t) e interprete sua resposta.
(b) Encontre a taxa de propagação do boato.

Passo 1

O enunciado apresenta o modelo
p(t)=11+a e^-k t,
onde p(t) é a proporção da população que já ouviu o boato no tempo t e a>0, k>0 são constantes. Precisamos (a) calcular limttoinftyp(t) e interpretar, e (b) encontrar a taxa de propagação do boato, ou seja p'(t).

Passo 2

Para ttoinfty temos e^-k tto0. Então
limttoinftyp(t) =limttoinfty11+a e^-k t =11+ acdot 0 =1

Passo 3

A interpretação é que, segundo este modelo, à medida que o tempo cresce muito, toda a população acaba sabendo do boato, pois a proporção tende a 1 (isto é, 100 %).

Passo 4

Vamos derivar p(t) usando a regra da cadeia. Defina D(t)=1+a e^-k t, de modo que p(t)=D(t)^-1. Então
D'(t)=acdot(-k)e^-k t=-a k e^-k t,
e, pelo fato de ddtD^-1=-D^-2D', obtemos
p'(t) =-D(t)^-2,D'(t) =a k e^-k tl(1+a e^-k tr)^2

Passo 5

Podemos reescrever essa derivada em função de p(t). Note que
a e^-k t=1p(t)-1,
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a e^-k t(1+a e^-k t)^2 =p(t)l(1-p(t)r)
Assim,
p'(t)=k,p(t)l(1-p(t)r)

Resposta

(a) limttoinftyp(t)=1, ou seja, todos acabam sabendo do boato.
(b) p'(t)=a k e^-k t(1+a e^-k t)^2, que também pode ser escrita como p'(t)=k,p(t)l(1-p(t)r).

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