• Questão 12: Dados os vetores v1=(3,-2,1), v2=(-4,3,0) e v3=(1,0,-1), calcule:
    o ângulo entre v1 e v3

Passo 1

Beleza, resumo rápido: a gente tem dois vetores em ℝ³,
v1=(3,-2,1)e v3=(1,0,-1)
e quer achar o ângulo entre eles.
O conteúdo é produto escalar e norma de vetores, mais a função inversa do cosseno (arccos).
As fórmulas que vamos usar são
– Produto escalar: vcdot w=sumi vi,wi
– Norma (comprimento) de um vetor: |v|=raizsumi vi^2
– Relação com o ângulo: costheta=dfracvcdot w|v|,|w| e depois theta=arccos(costheta).

Passo 2

Vamos calcular o produto escalar v1cdot v3.
Por definição:
v1cdot v3 =3cdot1 ;+;(-2)cdot0;+;1cdot(-1) =3 ;+;0 ;-;1 =2
Esse 2 mede o “alinhamento” dos vetores. Quanto maior, mais eles apontam na mesma direção.

Passo 3

Agora a norma de cada vetor, que é tipo o comprimento no espaço:
|v1| =raiz3^2+(-2)^2+1^2 =raiz9+4+1 =raiz14,
|v3| =raiz1^2+0^2+(-1)^2 =raiz1+0+1 =raiz2

Passo 4

Com produto escalar e normas, aplicamos
costheta =v1cdot v3|v1|;|v3| =2raiz14,raiz2 =2raiz28 =1raiz7

Passo 5

Pra achar o ângulo em si, usamos a função inversa do cosseno:
theta = arccos!l(tfrac1raiz7r)
No modo grau da calculadora isso dá aproximadamente
theta approx 67,79^circ

Resposta

O ângulo entre v1 e v3 é
theta = arccos!l(tfrac1raiz7r)approx 67,79^circ

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