Sobendo que \vec{u}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) e \vec{v}\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right). mostre que.
\begin{aligned} & \vec{u} \perp \vec{u} \times \vec{v} \\ & \vec{v} \perp \vec{u} \times \vec{v} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3:
\vec{u} = (x_{1},y_{1},z_{1}) \quad\text{e}\quad \vec{v} = (x_{2},y_{2},z_{2})
e pede para mostrar que \vec{u} e \vec{v} são ortogonais a \vec{u}\times\vec{v}. Para isso usaremos a definição do produto vetorial e a propriedade de que dois vetores são perpendiculares se, e somente se, seu produto escalar é zero.

Passo 2

Pela definição de produto vetorial em coordenadas:
\vec{u}\times\vec{v} = \bigl(y_{1}z_{2} - z_{1}y_{2},\; z_{1}x_{2} - x_{1}z_{2},\; x_{1}y_{2} - y_{1}x_{2}\bigr).

Passo 3

Calculamos o produto escalar \bigl(\vec{u}\times\vec{v}\bigr)\cdot\vec{u}:
\begin{aligned} \bigl(\vec{u}\times\vec{v}\bigr)\cdot\vec{u} &= (x_{1})(y_{1}z_{2} - z_{1}y_{2}) +(y_{1})(z_{1}x_{2} - x_{1}z_{2}) +(z_{1})(x_{1}y_{2} - y_{1}x_{2})\\\ &=x_{1}y_{1}z_{2} - x_{1}z_{1}y_{2} +y_{1}z_{1}x_{2} - x_{1}y_{1}z_{2} +z_{1}x_{1}y_{2} - y_{1}z_{1}x_{2}\\\ &=0. \end{aligned}
Como o resultado é zero, concluímos \vec{u}\perp(\vec{u}\times\vec{v}).

Passo 4

Agora calculamos \bigl(\vec{u}\times\vec{v}\bigr)\cdot\vec{v}:
\begin{aligned} \bigl(\vec{u}\times\vec{v}\bigr)\cdot\vec{v} &= (x_{2})(y_{1}z_{2} - z_{1}y_{2}) +(y_{2})(z_{1}x_{2} - x_{1}z_{2}) +(z_{2})(x_{1}y_{2} - y_{1}x_{2})\\\ &=y_{1}z_{2}x_{2}-z_{1}y_{2}x_{2} +z_{1}x_{2}y_{2}-x_{1}z_{2}y_{2} +x_{1}y_{2}z_{2}-y_{1}x_{2}z_{2}\\\ &=0. \end{aligned}
Como deu zero, segue \vec{v}\perp(\vec{u}\times\vec{v}).

Resposta

Mostramos que
\bigl(\vec{u}\times\vec{v}\bigr)\cdot\vec{u}=0 \quad\text{e}\quad \bigl(\vec{u}\times\vec{v}\bigr)\cdot\vec{v}=0,
logo \vec{u}\perp(\vec{u}\times\vec{v}) e \vec{v}\perp(\vec{u}\times\vec{v}).

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