(2,0) Calcule o produto vetorial entre:
\vec{u}=(1,-1,1) e v=(2,-7,4)

Passo 1

O enunciado pede o produto vetorial de \vec u=(1,-1,1) e \vec v=(2,-7,4). O conteúdo é o cálculo do produto vetorial em \mathbb{R}^3, que se faz via determinante de uma matriz cujas “linhas” são os versores \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} e as componentes de \vec u e \vec v.

Passo 2

Escrevemos a definição por determinante:
\vec u \times \vec v =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] 1 & -1 & 1 \\[4pt] 2 & -7 & 4 \end{vmatrix}.]

Passo 3

Calculamos a componente em \mathbf{i} excluindo a coluna de \mathbf{i} e mantendo o sinal positivo:
\mathbf{i}\bigl((-1)\cdot4 \;-\; 1\cdot(-7)\bigr) =\mathbf{i}(-4 + 7) =3\,\mathbf{i}.

Passo 4

Calculamos a componente em \mathbf{j}, lembrando do sinal “menos” que lhe acompanha:
-\mathbf{j}\bigl(1\cdot4 \;-\; 1\cdot2\bigr) =-\mathbf{j}(4 - 2) =-2\,\mathbf{j}.

Passo 5

Calculamos a componente em \mathbf{k} excluindo a coluna de \mathbf{k} e com sinal positivo:
\mathbf{k}\bigl(1\cdot(-7)\;-\;(-1)\cdot2\bigr) =\mathbf{k}(-7 + 2) =-5\,\mathbf{k}.

Passo 6

Juntando as três componentes, obtemos
\vec u \times \vec v =3\,\mathbf{i} \;-\;2\,\mathbf{j} \;-\;5\,\mathbf{k} \quad\Longleftrightarrow\quad (3,\,-2,\,-5).

Resposta

(3,-2,-5)

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