Sobre a aceleração no MHS assinale a opção CORRETA mais completa *
◯ A aceleração é sempre positiva
◯ A aceleração é máxima no ponto central (ponto de equilíbrio) quando há movimento
◯ A aceleração é sempre negativa
◯ A aceleração é proporcional a uma constante que multiplica o deslocamento
◯ A aceleração é sempre positiva
◯ A aceleração é máxima no ponto central (ponto de equilíbrio) quando há movimento
◯ A aceleração é sempre negativa
◯ A aceleração é proporcional a uma constante que multiplica o deslocamento
Passo 1
O enunciado pede para assinalar a opção CORRETA mais completa sobre a aceleração no MHS. As opções dadas são:
- A aceleração é sempre positiva
- A aceleração é máxima no ponto central (ponto de equilíbrio) quando há movimento
- A aceleração é sempre negativa
- A aceleração é proporcional a uma constante que multiplica o deslocamento
Passo 2
Vamos analisar qualitativamente cada opção antes de fazer contas:
- “A aceleração é sempre positiva” e “A aceleração é sempre negativa”: ambas afirmam que o sinal da aceleração não muda. No MHS sabemos que o sinal da aceleração depende de onde o corpo está em relação ao ponto de equilíbrio (para um lado a aceleração aponta para o outro lado). Portanto é muito suspeito que ela seja sempre positiva ou sempre negativa. Vamos confirmar isso matematicamente adiante.
- “A aceleração é máxima no ponto central (ponto de equilíbrio) quando há movimento”: isso afirma que o módulo da aceleração atinge máximo exatamente no centro. Intuitivamente, no ponto central a velocidade é máxima e o deslocamento é zero; é improvável que a aceleração (restauradora) seja máxima aí — vamos verificar.
- “A aceleração é proporcional a uma constante que multiplica o deslocamento”: isso sugere uma relação do tipo aceleração ∝ deslocamento. Precisamos saber o sinal e a constante para ver se a frase está completa, mas esta é a única que indica uma relação direta entre aceleração e deslocamento, que costuma ser a essência do MHS.
Passo 3
Derivação a partir da força restauradora (modelo mola-massa), mostrando a fórmula básica do MHS. Seja uma mola com constante elástica
e massa
. A força restauradora dada por Hooke é
onde:
-
é o deslocamento em relação ao ponto de equilíbrio (positivo para um lado, negativo para o outro), -
é a constante elástica, - o sinal negativo indica que a força aponta para o ponto de equilíbrio (é restauradora).
Pela segunda lei de Newton. Igualando:
Isolando
,
Aqui cada variável significa:
-
é a aceleração (função do tempo, via ), -
é o deslocamento (função do tempo), -
é uma constante positiva que tem dimensão de (tempo)^{-2}.
Passo 4
Interpretação da fórmula
. Essa fórmula diz que:
- A aceleração é proporcional ao deslocamento:
, com o fator de proporcionalidade . - O sinal é negativo: quando
então ; quando então . Ou seja, a aceleração sempre aponta para o ponto de equilíbrio (restauradora).
Portanto, a frase correta deveria explicitar essa proporcionalidade e o sinal negativo. A opção mais próxima entre as dadas é a que fala em proporcionalidade, embora a opção não tenha escrito explicitamente o sinal negativo.
Passo 5
Outra derivação via solução temporal do MHS confirma a mesma relação. Se a posição é
então a velocidade e a aceleração são, diferenciando:
Como
, obtemos
Aqui
é a pulsação do MHS e, no caso mola-massa,
. Novamente aparece a proporcionalidade com sinal negativo:
é proporcional a
via o fator
.
Passo 6
Agora respondendo às outras opções com base nas fórmulas:
- No ponto de equilíbrio
temos . Logo a aceleração NÃO é máxima no ponto central; é nula aí. Portanto a opção que diz que a aceleração é máxima no ponto central é falsa. - Como mostrado, o sinal de
depende do sinal de ; então não pode ser sempre positivo nem sempre negativo. Ambas falsas. - A opção que diz “A aceleração é proporcional a uma constante que multiplica o deslocamento” captura a ideia de
. Para ser totalmente precisa deveria dizer que é proporcional a (i.e., há um sinal negativo), mas entre as alternativas dadas essa é a única que descreve a relação funcional correta entre aceleração e deslocamento no MHS.
Passo 7
Resumo didático final (estímulo): a fórmula-chave para decorar e usar na prova é
Decore que o sinal negativo significa “aceleração sempre aponta para o ponto de equilíbrio” e que o módulo da aceleração é
, máximo quando
é máximo (ou seja, nas amplitudes) e zero quando
(ponto central). Tu consegue — foca nessa fórmula que resolve a maior parte das questões sobre aceleração no MHS!
Resposta
A aceleração é proporcional a uma constante que multiplica o deslocamento