Sobre a aceleração no MHS assinale a opção CORRETA mais completa *
◯ A aceleração é sempre positiva
◯ A aceleração é máxima no ponto central (ponto de equilíbrio) quando há movimento
◯ A aceleração é sempre negativa
◯ A aceleração é proporcional a uma constante que multiplica o deslocamento

Passo 1

O enunciado pede para assinalar a opção CORRETA mais completa sobre a aceleração no MHS. As opções dadas são:
  • A aceleração é sempre positiva
  • A aceleração é máxima no ponto central (ponto de equilíbrio) quando há movimento
  • A aceleração é sempre negativa
  • A aceleração é proporcional a uma constante que multiplica o deslocamento

Passo 2

Vamos analisar qualitativamente cada opção antes de fazer contas:
  • “A aceleração é sempre positiva” e “A aceleração é sempre negativa”: ambas afirmam que o sinal da aceleração não muda. No MHS sabemos que o sinal da aceleração depende de onde o corpo está em relação ao ponto de equilíbrio (para um lado a aceleração aponta para o outro lado). Portanto é muito suspeito que ela seja sempre positiva ou sempre negativa. Vamos confirmar isso matematicamente adiante.
  • “A aceleração é máxima no ponto central (ponto de equilíbrio) quando há movimento”: isso afirma que o módulo da aceleração atinge máximo exatamente no centro. Intuitivamente, no ponto central a velocidade é máxima e o deslocamento é zero; é improvável que a aceleração (restauradora) seja máxima aí — vamos verificar.
  • “A aceleração é proporcional a uma constante que multiplica o deslocamento”: isso sugere uma relação do tipo aceleração ∝ deslocamento. Precisamos saber o sinal e a constante para ver se a frase está completa, mas esta é a única que indica uma relação direta entre aceleração e deslocamento, que costuma ser a essência do MHS.

Passo 3

Derivação a partir da força restauradora (modelo mola-massa), mostrando a fórmula básica do MHS. Seja uma mola com constante elástica k e massa m. A força restauradora dada por Hooke é
F = -k x,
onde:
  • x é o deslocamento em relação ao ponto de equilíbrio (positivo para um lado, negativo para o outro),
  • k>0 é a constante elástica,
  • o sinal negativo indica que a força aponta para o ponto de equilíbrio (é restauradora).
    Pela segunda lei de Newton F = m a. Igualando:
m a = -k x.
Isolando a,
a = -\frac{k}{m}\,x.
Aqui cada variável significa:
  • a é a aceleração (função do tempo, via x(t)),
  • x é o deslocamento (função do tempo),
  • \dfrac{k}{m} é uma constante positiva que tem dimensão de (tempo)^{-2}.

Passo 4

Interpretação da fórmula \displaystyle a = -\frac{k}{m}\,x. Essa fórmula diz que:
  • A aceleração é proporcional ao deslocamento: a \propto x, com o fator de proporcionalidade -\dfrac{k}{m}.
  • O sinal é negativo: quando x>0 então a<0; quando x<0 então a>0. Ou seja, a aceleração sempre aponta para o ponto de equilíbrio (restauradora).
    Portanto, a frase correta deveria explicitar essa proporcionalidade e o sinal negativo. A opção mais próxima entre as dadas é a que fala em proporcionalidade, embora a opção não tenha escrito explicitamente o sinal negativo.

Passo 5

Outra derivação via solução temporal do MHS confirma a mesma relação. Se a posição é
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
então a velocidade e a aceleração são, diferenciando:
v(t)= -A\omega\sin(\omega t+\varphi),
a(t)= -A\omega^{2}\cos(\omega t+\varphi).
Como x(t)=A\cos(\omega t+\varphi), obtemos
a(t) = -\omega^{2}\,x(t).
Aqui \omega é a pulsação do MHS e, no caso mola-massa, \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}. Novamente aparece a proporcionalidade com sinal negativo: a é proporcional a x via o fator -\omega^{2}.

Passo 6

Agora respondendo às outras opções com base nas fórmulas:
  • No ponto de equilíbrio x=0 temos a=0. Logo a aceleração NÃO é máxima no ponto central; é nula aí. Portanto a opção que diz que a aceleração é máxima no ponto central é falsa.
  • Como mostrado, o sinal de a depende do sinal de x; então não pode ser sempre positivo nem sempre negativo. Ambas falsas.
  • A opção que diz “A aceleração é proporcional a uma constante que multiplica o deslocamento” captura a ideia de a\propto x. Para ser totalmente precisa deveria dizer que é proporcional a -x (i.e., há um sinal negativo), mas entre as alternativas dadas essa é a única que descreve a relação funcional correta entre aceleração e deslocamento no MHS.

Passo 7

Resumo didático final (estímulo): a fórmula-chave para decorar e usar na prova é
a = -\omega^{2}\,x \quad\text{ou}\quad a = -\frac{k}{m}\,x.
Decore que o sinal negativo significa “aceleração sempre aponta para o ponto de equilíbrio” e que o módulo da aceleração é |a|=\omega^{2}|x|, máximo quando |x| é máximo (ou seja, nas amplitudes) e zero quando x=0 (ponto central). Tu consegue — foca nessa fórmula que resolve a maior parte das questões sobre aceleração no MHS!

Resposta

A aceleração é proporcional a uma constante que multiplica o deslocamento

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