Sobre uma bola de naftaleno, usada como repelente de traças, escoa ar a 50^{\circ} \mathrm{F} e 1 atm de pressão. A bola encontra-se suspensa em uma corrente de ar que se move com velocidade de 1,34 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Como o naftaleno exerce uma pressão de vapor de 0,021 \mathrm{mmHg} a 50^{\circ} \mathrm{F}, ele sublimará para a corrente de ar que passa. A transferência é tão lenta que a sublimação que ocorre na superfície, em qualquer instante, pode ser considerada como se
acontecesse em uma esfera de diâmetro constante. Determinar o fluxo molar de naftaleno em uma bola de repelente de 1/2 polegada de diâmetro.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o fluxo molar de naftaleno que sublima de uma bola esférica de repelente (diâmetro de meia polegada) quando imersa em ar a 50^\circ\mathrm{F} e 1\\ \mathrm{atm}, com velocidade do ar de 1,34\\ \mathrm{m/s}. Dados fornecidos diretamente pelo enunciado:
\begin{aligned} &\text{Temperatura do ar: }50^\circ\mathrm{F},\\\ &\text{Pressão total: }1\\ \mathrm{atm},\\\ &\text{Velocidade do ar (corrente): }U_\infty=1,34\\ \mathrm{m/s},\\\ &\text{Pressão de vapor do naftaleno a }50^\circ\mathrm{F}:p_v=0,021\\ \mathrm{mmHg},\\\ &\text{Diâmetro da esfera: }d=\tfrac{1}{2}\\ \text{polegada}. \end{aligned}ããâ
Pergunta explícita: determinar o fluxo molar de naftaleno (isto é, quantidade de mols por segundo que sai da esfera para o ar).

Passo 2

Primeiro converto unidades e calculo algumas quantidades básicas (temperatura em Kelvin, diâmetro em metros, pressão de vapor em Pa), porque vou precisar dessas unidades nas fórmulas:
Temperatura:
50^\circ\mathrm{F}=(50-32)\times\frac{5}{9}=10^\circ\mathrm{C}\quad\Rightarrow\quad T=283,15\\ \mathrm{K}.
Diâmetro:
d=\tfrac{1}{2}\\ \text{polegada}=0,5\times0,0254=0,0127\\ \mathrm{m}.
Pressão de vapor (convertendo 1\\ \mathrm{mmHg}=133,322\\ \mathrm{Pa}):
p_v=0,021\times133{,}322=2{,}80\\ \mathrm{Pa}\\ (\text{aprox. }2{,}7998\\ \mathrm{Pa}).
Pressão total (usarei p=1\\ \mathrm{atm}=101325\\ \mathrm{Pa} quando necessário).

Passo 3

Vou usar o modelo convectivo de transferência de massa ao redor de uma esfera. A estratégia é:
  1. calcular o coeficiente de transferência de massa convectivo k_c a partir do número de Sherwood \mathrm{Sh} (correlação empírica para esfera em escoamento externo);
  2. obter a concentração do vapor na superfície c_s a partir da pressão de vapor (lei dos gases ideais);
  3. calcular o fluxo molar como \dot{n}=k_c\,A\,(c_s-c_\infty) (aqui c_\infty\approx0 porque a corrente é limpa).
Antes disso preciso de propriedades do ar e da mistura na temperatura dada: densidade \rho, viscosidade dinâmica \mu e coeficiente de difusão do naftaleno no ar D_{AB}. Vou estimar propriedades típicas à 10^\circ\mathrm{C}:
Viscosidade dinâmica do ar (valores tabulados):
\mu \approx 1{,}74\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Densidade do ar (lei dos gases ideais, R_{\text{ar}}\approx287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}):
\rho=\frac{p}{R_{\text{ar}}T}=\frac{101325}{287\times283{,}15}=1{,}247\\ \mathrm{kg/m^3}.
Coeficiente de difusão do naftaleno no ar: para vapores orgânicos pesados, D_{AB} costuma ficar na faixa de 5\times10^{-6} a 1{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}. Vou adotar um valor representante e conservador:
D_{AB}=7{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.
(Se você quiser, isso pode ser refinado por métodos como Fuller, mas esse valor é típico e suficiente para estimativa na prova.)

Passo 4

Calculo os números adimensionais necessários: Reynolds \mathrm{Re} e Schmidt \mathrm{Sc}.
Definições:
\mathrm{Re}=\frac{\rho U_\infty d}{\mu},\qquad \mathrm{Sc}=\frac{\mu}{\rho D_{AB}}.
Substituindo números:
\mathrm{Re}=\frac{1{,}247\times1{,}34\times0{,}0127}{1{,}74\times10^{-5}} =\frac{0{,}02124}{1{,}74\times10^{-5}}=1220{,}7\approx1{,}22\times10^{3}.
\mathrm{Sc}=\frac{1{,}74\times10^{-5}}{1{,}247\times7{,}0\times10^{-6}} =\frac{1{,}74\times10^{-5}}{8{,}729\times10^{-6}}=1{,}99\approx2{,}0.
Interpretação rápida: \mathrm{Re} indica escoamento moderadamente rápido ao redor da pequena esfera (regime intermediário), e \mathrm{Sc} da ordem de 2 é típico para transporte de vapores em ar.

Passo 5

Escolho uma correlação empírica para \mathrm{Sh} (analogia com transferência de calor): para uma esfera em escoamento externo é comum usar
\mathrm{Sh}=2+0{,}6\,\mathrm{Re}^{1/2}\mathrm{Sc}^{1/3},
que é análoga à correlação de Ranz–Marshall (válida para um amplo intervalo de \mathrm{Re} e \mathrm{Sc} e adequada aqui).
Calculo \mathrm{Sh}:
\mathrm{Re}^{1/2}=(1220{,}7)^{1/2}=34{,}94,\qquad \mathrm{Sc}^{1/3}=(1{,}99)^{1/3}=1{,}257.
\mathrm{Sh}=2+0{,}6\times34{,}94\times1{,}257 =2+26{,}33=28{,}33\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Transformo \mathrm{Sh} em coeficiente convectivo de massa k_c. A definição de Sherwood é
\mathrm{Sh}=\frac{k_c d}{D_{AB}} \quad\Rightarrow\quad k_c=\frac{\mathrm{Sh}\,D_{AB}}{d}.
Substituindo:
k_c=\frac{28{,}33\times7{,}0\times10^{-6}}{0{,}0127} =\frac{1{,}983\times10^{-4}}{0{,}0127}=0{,}01562\\ \mathrm{m/s}.
Explicação do que isso significa: k_c é a velocidade efetiva com que mols de naftaleno são removidos do filme gasoso junto à superfície; números da ordem de 10^{-2}\\ \mathrm{m/s} são razoáveis para pequenas esferas em escoamento relativamente rápido.

Passo 7

Calculo a concentração de vapor saturado na superfície c_s usando a lei dos gases ideais (pressão parcial igual à pressão de vapor do naftaleno):
c_s=\frac{p_v}{R\,T},
onde R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Substituindo:
c_s=\frac{2{,}7998}{8{,}314\times283{,}15}=\frac{2{,}7998}{2355{,}0}=1{,}1889\times10^{-3}\\ \mathrm{mol/m^3}.
Como o ar de escoamento está limpo, tomo c_\infty\approx0, então a diferença de concentração que dirige a transferência é c_s-c_\infty\approx c_s.

Passo 8

A área superficial da esfera é
A=\pi d^2=\pi(0{,}0127)^2=\pi\times1{,}6129\times10^{-4}=5{,}070\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
O fluxo molar total (mol/s) é
\dot{n}=k_c\,A\,(c_s-c_\infty)\approx k_c\,A\,c_s.
Substituindo os valores:
\dot{n}=0{,}01562\times5{,}070\times10^{-4}\times1{,}1889\times10^{-3}.
Faço as contas passo a passo:
0{,}01562\times5{,}070\times10^{-4}=7{,}923\times10^{-6},
7{,}923\times10^{-6}\times1{,}1889\times10^{-3}=9{,}42\times10^{-9}\\ \mathrm{mol/s}.

Passo 9

Interpretação e checagem rápida: o valor é pequeno ( \sim10^{-8}\\ \mathrm{mol/s}), o que faz sentido porque a pressão de vapor do naftaleno a 10^\circ\mathrm{C} é muito baixa. Se quiser converter para massa: massa molar do naftaleno M\approx128{,}17\\ \mathrm{g/mol}, então taxa em massa seria \sim1{,}21\times10^{-6}\\ \mathrm{g/s}, ou \sim0{,}10\\ \mathrm{g/dia} — isto dá uma ideia prática de quanto se perde por dia.

Resposta

9{,}42\times10^{-9}\\ \mathrm{mol/s}

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