O rolo de carvalho de um cortador de grama, que possui um teor inicial de umidade de 55% em massa, é colocado em um forno de secagem onde sua umidade superficial é mantida em 20% em massa. Se o teor máximo de umidade do rolo seco é fixado em 30% em massa, quanto tempo deverá ser necessário para secar um rolo que tem 4 pol de diâmetro e 18 pol de comprimento quando:
A secagem ocorre através de toda a superfície. Pode-se supor que a resistência superficial é desprezível e que a difusividade da umidade através do carvalho é
.
A secagem ocorre através de toda a superfície. Pode-se supor que a resistência superficial é desprezível e que a difusividade da umidade através do carvalho é
Passo 1
O enunciado pede: determinar o tempo necessário para secar um rolo de carvalho desde um teor inicial de umidade de
(55% em massa) até um teor final de
(30% em massa), quando a umidade na superfície é mantida constante em
(20% em massa).\n
Dados fornecidos (vou listar tudo claramente):
Dados fornecidos (vou listar tudo claramente):
o rolo é cilíndrico com diâmetro
polegadas e comprimento
polegadas, ou seja
Condições adicionais do enunciado:
- A secagem ocorre através de toda a superfície (lateral e faces).
- A resistência superficial é desprezível (isto é, a superfície permanece com
e não há queda de concentração na interface). - Queremos o tempo até que o teor médio do rolo atinja
.
Passo 2
Escolha do modelo e justificativa (sem pular etapas):\n
Temos difusão interna de umidade no sólido com a superfície mantida em umidade fixa ( ). Como o comprimento (
) é bem maior que o raio (
, razão
), os efeitos de difusão ao longo do eixo são pequenos comparados à difusão radial. Portanto é adequado usar a aproximação de um cilindro longo (difusão radial dominante) e tratar o problema como difusão radial em um cilindro com contorno de superfície de concentração fixa. Essa aproximação simplifica muito e é aceitável porque as faces contribuem relativamente pouco para a área total (cálculo rápido: área lateral
; áreas das duas faces juntas
, ou seja, faces
da lateral).\n
Com resistência superficial desprezível, a condição de contorno é valor fixo na superfície (tipo Dirichlet): a umidade na superfície fica instantaneamente em . Então o problema reduz-se ao problema clássico de difusão transitória num cilindro com superfície à concentração constante.
Temos difusão interna de umidade no sólido com a superfície mantida em umidade fixa (
Com resistência superficial desprezível, a condição de contorno é valor fixo na superfície (tipo Dirichlet): a umidade na superfície fica instantaneamente em
Passo 3
Fórmula teórica que vamos usar (e explicação do que cada termo significa):\n
Definimos a variável adimensional que mede o excesso médio de umidade:
Definimos a variável adimensional que mede o excesso médio de umidade:
onde
é a umidade média no volume do cilindro no tempo
. Assim
e
.\n
Para um cilindro longo sujeito à contaminação/remoção pela superfície mantida fixa, a solução para a média (obtida integrando a solução de Bessel sobre a seção) é a série:
Para um cilindro longo sujeito à contaminação/remoção pela superfície mantida fixa, a solução para a média (obtida integrando a solução de Bessel sobre a seção) é a série:
onde:
-
é o número de Fourier para difusão de massa (similar ao de calor), definido por
com
a difusividade e
o raio do cilindro;\n
-
são as raízes positivas da função de Bessel (os primeiros valores são , , , …).\n
Observações e intuição: a série decai rapidamente porque cada termo tem. Para tempos moderados a grandes, o primeiro termo ( ) domina e basta a aproximação pelo primeiro termo; se quisermos maior precisão adicionamos o segundo termo. Vou usar essa estratégia: primeiro termo para estimativa rápida e depois corrigir incluindo o segundo termo e ajustar numericamente para maior precisão.
Passo 4
Calcular o valor alvo adimensional
correspondente ao teor final
:\n
Passo 5
Primeira aproximação: usar somente o primeiro termo da série (boa aproximação quando
não é muito próximo de 1):\n
Com temos o coeficiente
Com
Aproximamos então
Isolando
:
Substituindo números:
Agora convertemos para tempo usando
. Temos
, então
Assim
Calcule:
Então a primeira aproximação dá cerca de
horas (≈
dias).
Passo 6
Refinamento incluindo o segundo termo para maior precisão:\n
Coeficientes conhecidos:
Coeficientes conhecidos:
Aproximação com dois termos:
Queremos resolver numericamente
Usamos o valor obtido antes
como chute inicial e avaliamos a soma:
Então
Esse valor está ligeiramente acima do alvo
, então precisamos de um
um pouco maior. Testando
obtemos:
Agora ficou um pouco abaixo do alvo. Interpolando linearmente entre os dois
temos uma boa estimativa:
Assim tomamos
. Agora convertemos para tempo:
Arredondando de forma razoável, o tempo necessário é cerca de
, ou seja aproximadamente
dias.