Tubo de ferro fundido é utilizado para transportar água a
. Se a perda de carga não puder ser maior que
para cada 3,05 metros de comprimento do tubo. Determine o menor diâmetro D do tubo que poderá ser usado.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o menor diâmetro do tubo de ferro fundido que transporte água com vazão de
de modo que a perda de carga não exceda
para cada
de tubo. Dados que eu extraio do enunciado:
- Vazão volumétrica:
. - Perda de carga admissível por comprimento:
- Material do tubo: ferro fundido (logo usaremos uma rugosidade absoluta típica para ferro fundido).
- Quero o menor diâmetro interno
tal que a perda de carga por metro seja menor ou igual ao valor dado.
Observações que já anotei mentalmente (não resolvo ainda): preciso converter as unidades para um sistema consistente, usar a relação entre perda de carga, velocidade e fator de atrito (fórmula de Darcy–Weisbach), calcular a velocidade a partir de
e
, e relacionar o fator de atrito
com o número de Reynolds e a rugosidade relativa (Colebrook). Vou assumir valores típicos para água e para a rugosidade do ferro fundido, indicando essas suposições quando aparecerem.
Passo 2
Conversões e valores numéricos iniciais (tudo em SI para trabalhar com tranquilidade):
- Converter
para . Sei que , portanto
- Converter a perda admissível por comprimento:
Ou seja, a inclinação hidráulica máxima é
- Valores físicos típicos que vou usar (explico por que):
- Aceleração da gravidade:
- Viscosidade cinemática da água (à temperatura ambiente, ~20 °C):
Uso este valor como aproximação padrão em problemas de prova. - Rugosidade absoluta típica para ferro fundido comercial:
(Esta é uma escolha padrão; se o enunciado desse outro valor, eu usaria esse valor.)
- Aceleração da gravidade:
Essas escolhas são necessárias para avaliar o fator de atrito e o número de Reynolds; se você tiver outro valor de rugosidade do seu professor, substituímos facilmente.
Passo 3
Escrevo a relação fundamental (equação de Darcy–Weisbach) que liga perda de carga ao fator de atrito:
onde
-
é a perda de carga ao longo do comprimento , -
é o fator de atrito (adimensional), -
é o diâmetro interno (m), -
é a velocidade média do escoamento (m/s), -
é a gravidade.
Dividindo por
obtemos a perda por unidade de comprimento:
Também a velocidade
relaciona-se com a vazão por
Substituindo
na expressão de
:
Queremos que
. Para encontrar o menor
admissível, podemos impor igualdade (caso limite):
Isolando
em função de
,
É importante:
não é uma constante independente — ele depende de
via o número de Reynolds e a rugosidade relativa
. Para fecharmos o problema precisamos relacionar
com
e
.
Passo 4
O fator de atrito
em escoamento turbulento em tubos é dado implicitamente pela equação de Colebrook–White:
onde o número de Reynolds é
Explico de forma didática:
- Para
o escoamento é laminar e . Aqui, as vazões e diâmetros em questão levam a muito grande (veremos), então o escoamento é turbulento. - Em regime turbulento, se
é suficientemente grande, o termo com fica pequeno e o fator fica quase independente de ; nesse caso usa-se a aproximação “totalmente rugosa”:
Mas em provas costuma-se fazer iterações usando a forma completa (Colebrook) ou usar aproximação totalmente rugosa se
for muito grande. Vou verificar que regime nos interessa calculando
para valores prováveis de
.
Passo 5
Começo avaliando numericamente constantes que aparecem na equação isolada de
. Calculo o coeficiente multiplicador que apareceu no passo 3:
Substituo os valores numéricos:
Calculo (passo a passo):
Logo
Portanto a relação (passo 3) fica, numericamente,
com
em metros. Note que isto é apenas a consequência algébrica de impor
; o valor de
ainda tem que ser consistente com Colebrook.
Passo 6
Agora faço tentativas numéricas iterativas: chuto um valor de
, calculo
,
, uma estimativa de
(pela aproximação totalmente rugosa — válida se
for grande — ou com a forma de Colebrook por iteração), e então avalio
para verificar se é
. Vou mostrar algumas iterações didáticas para você ver o raciocínio:
Fórmulas úteis repetidas:
Tentativa 1:
-
-
(bem grande → regime turbulento). - Rugosidade relativa:
- Aproximação totalmente rugosa:
logo
- Então
que é maior que
. Logo
é pequeno demais.
Tentativa 2:
-
-
. -
- Aproximação totalmente rugosa:
logo
- Então
que é bem menor que
. Então
é “grande demais” (perda muito pequena) — queremos o menor diâmetro que ainda respeite a perda admissível.
Tentativa 3: entre
e
. Provo
-
-
-
- Aproximação totalmente rugosa dá
-
ligeiramente maior que . Então ainda é um pouco pequeno.
Com esses pontos vemos que o diâmetro crítico fica próximo de
. Vou refinar por iterações rápidas até ficar dentro da tolerância.
Passo 7
Refino numérico (busca por interpolação/iteração):
- Para
obtive (repetindo os cálculos rápidos): -
-
(ainda um pouquinho acima de ).
-
- Para
: -
-
(um pouco abaixo de ).
-
Portanto a solução limite fica entre
e
. Fazendo uma interpolação simples e nova avaliação, obtenho o valor aproximado
Esse valor foi obtido iterativamente assumindo a aproximação totalmente rugosa para estimar
(o que é válido aqui porque
é grande, da ordem de
, e o termo viscous em Colebrook é pequeno). Se quisermos extrema precisão poderíamos resolver a equação de Colebrook completa por iteração (por exemplo método de Newton ou busca numérica) usando os valores de
correspondentes ao
testado; isso daria um ajuste muito pequeno no dígito seguinte. Para efeito de prova e projeto inicial,
é a resposta apropriada.