Sobre o conjunto
considere a métrica usual induzida. Ache as seguintes seguintes bolas abertas bolas abertas
(e)
.
(e)
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
equipado com a métrica usual induzida (ou seja, a distância é a diferença absoluta entre números reais, restrita a
). Pede-se para encontrar a bola aberta centrada em
com raio
, isto é
tomada como subconjunto de
. Vou trabalhar com a definição de bola aberta em espaços métricos e aplicar aos pontos de
.
Passo 2
Definição usada (aula rápida): em um espaço métrico
, a bola aberta de centro
e raio
é
Aqui
e a métrica é a usual
. Então, por definição,
Passo 3
Agora resolvo a desigualdade em
(antes de intersectar com
). A condição
é equivalente a
o que somando
em todas as partes dá
Portanto, como subconjunto de
, a bola seria o intervalo aberto
.
Passo 4
Como estamos trabalhando na métrica induzida em
, devemos intersectar esse intervalo com
. Logo
Passo 5
Agora verifico a interseção ponto a ponto, usando que
.
- O ponto
satisfaz , logo , portanto . - Para quaisquer
temos , portanto , logo todo o intervalo está contido em . Assim .
Passo 6
Como tanto
quanto
estão dentro de
, a interseção
recupera todo
. Em outras palavras, para todo
temos
, portanto todos os pontos de
estão na bola.
Passo 7
Conclusão: a bola aberta
no espaço métrico
é exatamente o próprio conjunto
. Isso significa intuitivamente que o raio
é grande o suficiente para “atingir” todos os pontos de
a partir do centro
.