Sobre o conjunto A=\{0\} \cup[1,2[ considere a métrica usual induzida. Ache as seguintes seguintes bolas abertas bolas abertas
(e) B(1,2).

Passo 1

O enunciado dá o conjunto A=\{0\}\cup[1,2[ equipado com a métrica usual induzida (ou seja, a distância é a diferença absoluta entre números reais, restrita a A). Pede-se para encontrar a bola aberta centrada em 1 com raio 2, isto é B(1,2) tomada como subconjunto de A. Vou trabalhar com a definição de bola aberta em espaços métricos e aplicar aos pontos de A.

Passo 2

Definição usada (aula rápida): em um espaço métrico (X,d), a bola aberta de centro a\in X e raio r>0 é
B(a,r)=\{x\in X \mid d(x,a)<r\}.
Aqui X=A e a métrica é a usual d(x,y)=|x-y|. Então, por definição,
B(1,2)=\{x\in A \mid |x-1|<2\}.

Passo 3

Agora resolvo a desigualdade em \mathbb{R} (antes de intersectar com A). A condição |x-1|<2 é equivalente a
-2 < x-1 < 2,
o que somando 1 em todas as partes dá
-1 < x < 3.
Portanto, como subconjunto de \mathbb{R}, a bola seria o intervalo aberto (-1,3).

Passo 4

Como estamos trabalhando na métrica induzida em A, devemos intersectar esse intervalo com A. Logo
B(1,2)=A\cap(-1,3).

Passo 5

Agora verifico a interseção ponto a ponto, usando que A=\{0\}\cup[1,2[.
  • O ponto 0 satisfaz -1<0<3, logo 0\in(-1,3), portanto 0\in A\cap(-1,3).
  • Para quaisquer x\in[1,2[ temos 1\le x<2, portanto -1<x<3, logo todo o intervalo [1,2[ está contido em (-1,3). Assim [1,2[\subseteq(-1,3).

Passo 6

Como tanto \{0\} quanto [1,2[ estão dentro de (-1,3), a interseção A\cap(-1,3) recupera todo A. Em outras palavras, para todo x\in A temos |x-1|<2, portanto todos os pontos de A estão na bola.

Passo 7

Conclusão: a bola aberta B(1,2) no espaço métrico (A,d) é exatamente o próprio conjunto A. Isso significa intuitivamente que o raio 2 é grande o suficiente para “atingir” todos os pontos de A a partir do centro 1.

Resposta

\{0\}\cup[1,2[

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