Qual o valor da aceleração gravidade terrestre (aproximada) percebida a uma distância de 1.000 km acima de sua superfície? Considerando que o raio da terra é de 6.400 Km , a massa da terra é de 6,010^{\wedge}\{24\} e que \mathrm{G}=6,6710^{\wedge}\{-11\} \mathrm{Nm}^{2} / \mathrm{Kg}^{2}.
\bigcirc 9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
\bigcirc 7,3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
\bigcirc 8,4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
\bigcirc 9,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}

Passo 1

O problema pede: determinar a aceleração da gravidade percebida a uma distância de 1{,}000\\ \text{km} acima da superfície da Terra e escolher a alternativa correta entre as ofertas.
Informações dadas:
R = 6{,}400\\ \text{km},
h = 1{,}000\\ \text{km},
M = 6{,}0\times 10^{24}\\ \text{kg},
G = 6{,}67\times 10^{-11}\\ \mathrm{N\,m^{2}\,kg^{-2}}.
Alternativas fornecidas:
9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}},\quad 7{,}3\\ \mathrm{m/s^{2}},\quad 8{,}4\\ \mathrm{m/s^{2}},\quad 9{,}2\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 2

Fórmula que usamos (justificação curta): a força gravitacional entre a Terra (massa M) e um corpo de massa m a uma distância r do centro da Terra é
F=\dfrac{G M m}{r^{2}}.
A aceleração do corpo é a=F/m, logo o termo m cancela e obtemos a aceleração gravitacional a uma distância r do centro:
g(r)=\dfrac{G M}{r^{2}}.
Explicando as variáveis: G é a constante gravitacional, M é a massa da Terra, r é a distância do centro da Terra até o ponto onde queremos g. As unidades resultam em \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 3

Calcular a distância ao centro da Terra r convertendo quilômetros para metros (sempre converta para o SI para usar G nas unidades dadas):
R = 6{,}400\\ \text{km} = 6{,}400\times 10^{3}\\ \text{m} = 6{,}4\times 10^{6}\\ \text{m},
h = 1{,}000\\ \text{km} = 1{,}000\times 10^{3}\\ \text{m} = 1{,}0\times 10^{6}\\ \text{m}.
Portanto
r = R + h = \left(6{,}4+1{,}0\right)\times 10^{6}\\ \text{m} = 7{,}4\times 10^{6}\\ \text{m}.

Passo 4

Calcular o numerador G M:
G M = \left(6{,}67\times 10^{-11}\right)\left(6{,}0\times 10^{24}\right).
Multiplicando as mantissas e somando expoentes:
6{,}67\times 6{,}0 = 40{,}02,
-11 + 24 = 13,
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G M = 40{,}02\times 10^{13} = 4{,}002\times 10^{14}\\ \text{(unidades: }\mathrm{m^{3}\,s^{-2}}\text{)}.

Passo 5

Calcular o denominador r^{2}:
r^{2} = \left(7{,}4\times 10^{6}\right)^{2} = 7{,}4^{2}\times 10^{12}.
Como 7{,}4^{2}=54{,}76, temos
r^{2}=54{,}76\times 10^{12}=5{,}476\times 10^{13}\\ \text{m}^{2}.

Passo 6

Agora calculamos g(r):
g(r)=\dfrac{G M}{r^{2}}=\dfrac{4{,}002\times 10^{14}}{5{,}476\times 10^{13}}.
Dividindo mantissas e tratando os expoentes:
\frac{4{,}002}{5{,}476}\approx 0{,}7309,
e 10^{14}/10^{13}=10. Então
g(r)\approx 0{,}7309\times 10 = 7{,}309\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Arredondando de forma compatível com as alternativas temos g(r)\approx 7{,}3\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Observação útil para prova (atalho): você pode também usar
g(h)=g_{0}\left(\dfrac{R}{R+h}\right)^{2},
onde g_{0}\approx 9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}} é a gravidade na superfície. Isso dá o mesmo resultado rápido:
g(h)=9{,}8\left(\dfrac{6{,}4}{7{,}4}\right)^{2}\approx 7{,}3\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Resposta

7{,}3\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}

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