Sobre as curvas de nível da função
, marque a única alternativa verdadeira:
a) São todas parábolas com concavidade para cima.
b) São todas parábolas algumas com concavidade para cima e outras para baixo.
c) O nível
é apenas um ponto.
d) Existe uma curva de nível que é uma reta.
e) Nenhuma das alternativas acima.
a) São todas parábolas com concavidade para cima.
b) São todas parábolas algumas com concavidade para cima e outras para baixo.
c) O nível
d) Existe uma curva de nível que é uma reta.
e) Nenhuma das alternativas acima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar as curvas de nível da função
. As curvas de nível mostram onde a função assume valores constantes. Para resolver isso, vamos precisar saber o que são curvas de nível e como representá-las graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é uma curva de nível. Para uma função de duas variáveis,
, onde
é uma constante, a curva de nível é o conjunto de pontos
que satisfazem essa equação.
Passo 3
Então, aplicando isso à nossa função
, temos:
Isso pode ser rearranjado para:
Essa é a equação geral das curvas de nível para a nossa função.
Passo 4
Observando a equação
, notamos que ela representa uma parábola. A concavidade da parábola depende do coeficiente de
. No caso, como o coeficiente é positivo (2), todas as parábolas têm concavidade para cima, independentemente do valor de
.
Passo 5
Agora, vamos analisar as alternativas:
a) São todas parábolas com concavidade para cima. – Isso está de acordo com o que encontramos.
b) São todas parábolas algumas com concavidade para cima e outras para baixo. – Não, todas têm concavidade para cima.
c) O nível é apenas um ponto. – Na verdade, é a parábola
, não apenas um ponto.
d) Existe uma curva de nível que é uma reta. – Não, todas são parábolas.
e) Nenhuma das alternativas acima. – Já vimos que a alternativa a) está correta.
a) São todas parábolas com concavidade para cima. – Isso está de acordo com o que encontramos.
b) São todas parábolas algumas com concavidade para cima e outras para baixo. – Não, todas têm concavidade para cima.
c) O nível
d) Existe uma curva de nível que é uma reta. – Não, todas são parábolas.
e) Nenhuma das alternativas acima. – Já vimos que a alternativa a) está correta.
Resposta
A alternativa correta é a letra a): São todas parábolas com concavidade para cima.