Sobre as curvas de nível da função f(x, y)=y-2 x^2, marque a única alternativa verdadeira:
a) São todas parábolas com concavidade para cima.
b) São todas parábolas algumas com concavidade para cima e outras para baixo.
c) O nível N0=(x, y) in R^2 ; f(x, y)=0 é apenas um ponto.
d) Existe uma curva de nível que é uma reta.
e) Nenhuma das alternativas acima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar as curvas de nível da função . As curvas de nível mostram onde a função assume valores constantes. Para resolver isso, vamos precisar saber o que são curvas de nível e como representá-las graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que é uma curva de nível. Para uma função de duas variáveis, , onde é uma constante, a curva de nível é o conjunto de pontos que satisfazem essa equação.

Passo 3

Então, aplicando isso à nossa função y - 2x^2 = c , temos:
y = 2x^2 + c
Isso pode ser rearranjado para:
Essa é a equação geral das curvas de nível para a nossa função.

Passo 4

Observando a equação , notamos que ela representa uma parábola. A concavidade da parábola depende do coeficiente de . No caso, como o coeficiente é positivo (2), todas as parábolas têm concavidade para cima, independentemente do valor de .

Passo 5

Agora, vamos analisar as alternativas:
a) São todas parábolas com concavidade para cima. – Isso está de acordo com o que encontramos.
b) São todas parábolas algumas com concavidade para cima e outras para baixo. – Não, todas têm concavidade para cima.
c) O nível é apenas um ponto. – Na verdade, é a parábola , não apenas um ponto.
d) Existe uma curva de nível que é uma reta. – Não, todas são parábolas.
e) Nenhuma das alternativas acima. – Já vimos que a alternativa a) está correta.

Resposta

A alternativa correta é a letra a): São todas parábolas com concavidade para cima.

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