Faça um estudo da função, determinando: domínio, zeros, derivada, local de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e o esboço do gráfico da função
f(x)=x^2-x+1x^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A função que temos é:
f(x) = x^2 - x + 1x^2
Nosso objetivo é estudar essa função determinando:
  • Domínio: onde a função está definida.
  • Zeros: os valores de que fazem .
  • Derivada: para entender a inclinação da função.
  • Crescimento e decrescimento: saber onde a função está subindo ou descendo.
  • Concavidade: se a curva está “abrindo pra cima” ou “pra baixo”.
  • Pontos de inflexão: onde a concavidade muda.
  • Esboço do gráfico: desenhar como a função se comporta.
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra e cálculo, como derivadas e análise de funções.

Passo 2

Domínio da função
O domínio de uma função são todos os valores de f(x) = x^2 - x + 1x^2 para os quais a função está definida. No nosso caso, a função é:
x^2 neq 0 implies x neq 0
Aqui, o denominador é Df = R setminus 0 . Não podemos dividir por zero, então:
Portanto, o domínio da função é:

Passo 3

Zeros da função
Os zeros da função são os valores de x^2 - x + 1x^2 = 0 que fazem x^2 - x + 1 = 0 . Vamos resolver:
De
Uma fração é zero quando o numerador é zero (desde que o denominador não seja zero). Então:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como , não existem soluções reais.
Logo, a função não tem zeros reais.

Passo 4

Derivada da função
Para analisar o crescimento e decrescimento, precisamos da derivada de f(x) = x^2 - x + 1x^2 = 1 - xx^2 + 1x^2 = 1 - 1x + 1x^2 . Vamos derivar:
f'(x) = u'v - uv'v^2
Mas é mais fácil usar a regra do quociente. A derivada de f'(x) = (2x - 1)x^2 - (x^2 - x + 1)2xx^4 = 2x^3 - x^2 - 2x^3 + 2x^2 - 2xx^4 = (2x^3 - 2x^3) + (-x^2 + 2x^2) - 2xx^4 = x^2 - 2xx^4 = x(x - 2)x^4 = x - 2x^3 é:
f'(x) = x - 2x^3
Onde:
Aplicando:
Portanto, a derivada é:

Passo 5

Crescimento e Decrescimento
Para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal da derivada f'(x) = x - 2x^3 .
Vamos considerar os intervalos baseados nos pontos críticos, ou seja, onde ou não está definida.
  1. não está definida quando (já excluído do domínio)
Então, os intervalos para testar são:
Analisando o sinal de :
  1. Intervalo :
    • (porque qualquer )
    • (cubo negativo para )
    • Portanto,
    Função está Crescendo
  2. Intervalo :
    • Portanto,
    Função está Decrescendo
  3. Intervalo :
    • Portanto,
    Função está Crescendo

Passo 6

Concavidade e Pontos de Inflexão
Para analisar a concavidade, precisamos da segunda derivada f'(x) = x - 2x^3 = (x - 2)x^-3 .
Primeiro, vamos derivar f''(x) = ddx( (x - 2)x^-3 ) = (1)(x^-3) + (x - 2)(-3x^-4) = x^-3 - 3(x - 2)x^-4 = 1x^3 - 3(x - 2)x^4 = x - 3(x - 2)x^4 :
f''(x) = x - 3x + 6x^4 = -2x + 6x^4 = -2(x - 3)x^4
Usando a regra do produto e a derivada de potências:
f''(x) = -2(x - 3)x^4
Simplificando:
-2(x - 3) = 0 implies x = 3
Portanto, a segunda derivada é:
Analisando o sinal da segunda derivada:
  • Concavidade para cima:
  • Concavidade para baixo:
Resolvendo :
Intervalos para testar:
  1. Intervalo :
    Concavidade para cima
  2. Intervalo :
    Concavidade para baixo
Ponto de inflexão: Onde a concavidade muda, ou seja, em .

Passo 7

Esboço do Gráfico
Vamos resumir as informações:
  • Domínio: limx to pminfty x^2 - x + 1x^2 = 1
  • Zeros: Nenhum
  • Derivada:
  • Crescimento:
    • e
  • Decrescimento:
  • Concavidade:
    • Para cima:
    • Para baixo:
  • Ponto de inflexão:
Comportamento nas Assíntotas:
  • Vertical em : A função tende a quando e a quando .
  • Horizontal: Vamos analisar o limite quando :
Portanto, a assíntota horizontal é .
Resumo do Gráfico:
  • A função não cruza o eixo .
  • Tem uma assíntota vertical em e uma horizontal em .
  • Cresce antes de e após , e decresce entre e .
  • A concavidade muda em .

Resposta

Com base na análise realizada, o esboço do gráfico da função apresenta:
  • Domínio:
  • Sem zeros reais.
  • Crescimento nos intervalos e .
  • Decrescimento no intervalo .
  • Concavidade para cima em e para baixo em .
  • Ponto de inflexão em .
  • Assíntotas: Vertical em e horizontal em .
O gráfico reflete esses comportamentos, com a função aproximando-se da assíntota horizontal à medida que tende a , e demonstrando variações de crescimento, decrescimento e concavidade conforme descrito.

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