Faça um estudo da função, determinando: domínio, zeros, derivada, local de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e o esboço do gráfico da função
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A função que temos é:
Nosso objetivo é estudar essa função determinando:
- Domínio: onde a função está definida.
- Zeros: os valores de
que fazem . - Derivada: para entender a inclinação da função.
- Crescimento e decrescimento: saber onde a função está subindo ou descendo.
- Concavidade: se a curva está “abrindo pra cima” ou “pra baixo”.
- Pontos de inflexão: onde a concavidade muda.
- Esboço do gráfico: desenhar como a função se comporta.
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra e cálculo, como derivadas e análise de funções.
Passo 2
Domínio da função
O domínio de uma função são todos os valores de
para os quais a função está definida. No nosso caso, a função é:
Aqui, o denominador é
. Não podemos dividir por zero, então:
Portanto, o domínio da função é:
Passo 3
Zeros da função
Os zeros da função são os valores de
que fazem
. Vamos resolver:
Uma fração é zero quando o numerador é zero (desde que o denominador não seja zero). Então:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como
, não existem soluções reais.
Logo, a função não tem zeros reais.
Passo 4
Derivada da função
Para analisar o crescimento e decrescimento, precisamos da derivada de
. Vamos derivar:
Mas é mais fácil usar a regra do quociente. A derivada de
é:
Onde:
Aplicando:
Portanto, a derivada é:
Passo 5
Crescimento e Decrescimento
Para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal da derivada
.
Vamos considerar os intervalos baseados nos pontos críticos, ou seja, onde
ou
não está definida.
-
-
não está definida quando (já excluído do domínio)
Então, os intervalos para testar são:
Analisando o sinal de
:
-
Intervalo
: -
(porque qualquer ) -
(cubo negativo para ) - Portanto,
Função está Crescendo -
-
Intervalo
: -
-
- Portanto,
Função está Decrescendo -
-
Intervalo
: -
-
- Portanto,
Função está Crescendo -
Passo 6
Concavidade e Pontos de Inflexão
Para analisar a concavidade, precisamos da segunda derivada
.
Primeiro, vamos derivar
:
Usando a regra do produto e a derivada de potências:
Simplificando:
Portanto, a segunda derivada é:
Analisando o sinal da segunda derivada:
- Concavidade para cima:
- Concavidade para baixo:
Resolvendo
:
Intervalos para testar:
-
Intervalo
: Concavidade para cima -
-
Intervalo
: Concavidade para baixo -
Ponto de inflexão: Onde a concavidade muda, ou seja, em
.
Passo 7
Esboço do Gráfico
Vamos resumir as informações:
- Domínio:
- Zeros: Nenhum
- Derivada:
- Crescimento:
-
e
-
- Decrescimento:
-
- Concavidade:
- Para cima:
- Para baixo:
- Para cima:
- Ponto de inflexão:
Comportamento nas Assíntotas:
- Vertical em
: A função tende a quando e a quando . - Horizontal: Vamos analisar o limite quando
:
Portanto, a assíntota horizontal é
.
Resumo do Gráfico:
- A função não cruza o eixo
. - Tem uma assíntota vertical em
e uma horizontal em . - Cresce antes de
e após , e decresce entre e . - A concavidade muda em
.
Resposta
Com base na análise realizada, o esboço do gráfico da função
apresenta:
- Domínio:
- Sem zeros reais.
- Crescimento nos intervalos
e . - Decrescimento no intervalo
. - Concavidade para cima em
e para baixo em . - Ponto de inflexão em
. - Assíntotas: Vertical em
e horizontal em .
O gráfico reflete esses comportamentos, com a função aproximando-se da assíntota horizontal à medida que
tende a
, e demonstrando variações de crescimento, decrescimento e concavidade conforme descrito.