Sobre Derivadas:
Mostre que
é contínua em
e calcule
, onde
.
Mostre que
Passo 1
Enunciado e plano de resolução: temos a função
,
. O objetivo é mostrar que
é contínua em
usando a definição de continuidade, e depois calcular
a partir da definição do quociente de diferença.
Passo 2
Continuidade em
: devemos verificar que
. Como
, calculamos as duas componentes do limite:
e
. Como ambos os limites laterais coincidem e valem 0, segue que
, logo
é contínua em
.
Passo 3
Derivada em
: pela definição,
Aplicamos a definição de derivada em :
Analisando os limites laterais:
Aplicamos a definição de derivada em
Analisando os limites laterais:
- Para
, , logo - Para
, , logo
Como os limites laterais são diferentes, o limitenão existe, e portanto não existe.
Resposta
A função é contínua em
, mas não é diferenciável em
; assim,
não existe.