Sobre Derivadas:
Mostre que f é contínua em x=0 e calcule f^prime(0), onde f(x)=|x|.

Passo 1

Enunciado e plano de resolução: temos a função f: Rto R, f(x)=|x|. O objetivo é mostrar que f é contínua em x=0 usando a definição de continuidade, e depois calcular f'(0) a partir da definição do quociente de diferença.

Passo 2

Continuidade em x=0: devemos verificar que limxto0f(x)=f(0). Como f(0)=|0|=0, calculamos as duas componentes do limite: limxto0^+|x|=0 e limxto0^-|x|=0. Como ambos os limites laterais coincidem e valem 0, segue que limxto0f(x)=0=f(0), logo f é contínua em x=0.

Passo 3

Derivada em x=0: pela definição,
Aplicamos a definição de derivada em x=0:
f'(0)=limhto0f(0+h)-f(0)h=limhto0|h|h
Analisando os limites laterais:
  • Para hto0^+, |h|/h=1, logo
  • Para limhto0^+|h|h=1, hto0^-, logo
    Como os limites laterais são diferentes, o limite |h|/h=-1 não existe, e portanto limhto0^-|h|h=-1 não existe.

Resposta

A função é contínua em x=0, mas não é diferenciável em x=0; assim, f'(0) não existe.

Exercícios relacionados