Sobre as equações de Maxwell abaixo, faça o que se pede: \vec{\nabla} X \overrightarrow{\mathrm{~B}}=\mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{\partial \overrightarrow{\mathrm{E}}}{\partial t}+\mu_{0} \vec{J}
a) Faça uma descrição sucinta sobre o significado físico de cada uma;
b) A partir da forma integral, demonstre como pode ser obtida a forma diferencial das equações apresentadas.
c) Demonstre, com uso das equações de Maxwell que c^{2}=1 / \mu \varepsilon
Passo 1
O enunciado pede para comentarmos as quatro equações de Maxwell, mostrar como a forma diferencial se obtém da forma integral e, por fim, usar essas equações para demonstrar que
c^2=\frac{1}{\mu\varepsilon}\,.
Vamos precisar do Teorema da Divergência, do Teorema de Stokes e do identitade vetorial
\vec\nabla\times\bigl(\vec\nabla\times\vec A\bigr) =\vec\nabla(\vec\nabla\cdot\vec A)-\nabla^2\vec A.
Passo 2
As equações diferenciais de Maxwell em meio geral (com densidade de carga \rho e densidade de corrente \vec J) são:
Gauss para \vec E
\vec\nabla\cdot\vec E=\frac{\rho}{\varepsilon}
— mostra que cargas elétricas são fontes (ou sumidouros) do campo elétrico.
Gauss para \vec B
\vec\nabla\cdot\vec B=0
— diz que não existem monopólos magnéticos: linhas de \vec B são sempre fechadas.
— correntes elétricas e variação temporal de \vec E geram campo magnético.
Passo 3
Para passar da forma integral para a diferencial usamos:
Gauss para \vec E:
Integral: \displaystyle\oint_{S}\vec E\!\cdot d\vec A=\frac{Q_{\rm int}}{\varepsilon}.
Pelo Teorema da Divergência, \displaystyle\oint_{S}\vec E\!\cdot d\vec A=\int_{V}(\vec\nabla\cdot\vec E)\,dV,
e Q_{\rm int}=\int_{V}\rho\,dV. Igualando os integrandos vem
\vec\nabla\cdot\vec E=\frac{\rho}{\varepsilon}.
Gauss para \vec B:
Integral: \displaystyle\oint_{S}\vec B\!\cdot d\vec A=0.
Pelo mesmo raciocínio, \vec\nabla\cdot\vec B=0.
Faraday:
Integral: \displaystyle\oint_{\partial S}\vec E\!\cdot d\vec \ell
=-\frac{d}{dt}\!\int_{S}\vec B\!\cdot d\vec A.
Pelo Teorema de Stokes, \oint_{\partial S}\vec E\!\cdot d\vec \ell
=\int_{S}(\vec\nabla\times\vec E)\cdot d\vec A, e derivada passa para dentro da integral.
Igualando os integrandos dá
Ampère–Maxwell:
Integral: \displaystyle\oint_{\partial S}\vec B\!\cdot d\vec\ell
=\mu\!\int_{S}\vec J\!\cdot d\vec A
+\mu\,\varepsilon\,\frac{d}{dt}\!\int_{S}\vec E\!\cdot d\vec A.
Aplicando Stokes e igualando integrandos vem
\vec\nabla\times\vec B =\mu\,\varepsilon\,\frac{\partial\vec E}{\partial t} +\mu\,\vec J.
Passo 4
Em regime de vácuo sem cargas nem correntes \rho=0, \vec J=0, \mu\to\mu_0, \varepsilon\to\varepsilon_0 temos
\vec\nabla\times\vec E=-\frac{\partial\vec B}{\partial t}, \qquad \vec\nabla\times\vec B =\mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial\vec E}{\partial t}.
Aplicando \vec\nabla\times na primeira:
\vec\nabla\times(\vec\nabla\times\vec E) =-\frac{\partial}{\partial t}(\vec\nabla\times\vec B) =-\mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}.
Pela identidade vetorial \vec\nabla\times(\vec\nabla\times\vec E)
=\vec\nabla(\vec\nabla\cdot\vec E)-\nabla^2\vec E,
mas em vácuo \vec\nabla\cdot\vec E=0, logo
-\nabla^2\vec E=-\mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2} \;\;\Longrightarrow\;\; \nabla^2\vec E =\mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}.