Sobre a f(x, y)=yx, marque a única alternativa verdadeira.
Existe (a, b) no domínio com nabla f(a, b)=0.

Passo 1

A função é f(x,y)=y/x, do tema derivadas parciais e gradiente. Vamos precisar calcular Ω∂f/∂x e ∂f/∂y e ver se existe ponto no domínio (x≠0) que anule ambos.

Passo 2

Para achar o gradiente, usamos as definições de derivada parcial. Mantendo y fixo e derivando em relação a x:
[∂f/∂x = ∂(y/x)/∂x = -y/x^2]
Mantendo x fixo e derivando em relação a y:
[∂f/∂y = ∂(y/x)/∂y = 1/x]

Passo 3

Queremos ∇f(a,b)=(0,0), ou seja:
[-b/a^2 = 0 e 1/a = 0]
Da primeira equação vem b=0. Mas a segunda diz 1/a=0, o que não tem solução em ℝ pois 1/a nunca é zero quando a≠0 (domínio exige a≠0).

Resposta

Não existe nenhum (a,b) no domínio tal que ∇f(a,b)=0.

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