Se sumn=0^infty an z^n é a série de potências de (1-z^2) sen z em torno de z0=0, determine o valor de a3.
a) 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o valor de $ a_3 $ na série de potências de $ (1 - z^2) \sin z $ centrada em $ z_0 = 0 $. Isso envolve conceitos de séries de Taylor e manipulação de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor da função $ \sin z $ em torno de 0. A série de Taylor de $ \sin z $ é:
sin z

Passo 3

Agora, precisamos multiplicar $ \sin z $ por $ (1 - z^2) $. Vamos fazer isso termo a termo usando a série que acabamos de escrever:
sin z
Substituindo a série de $ \sin z $:
(1 - z^2)

Passo 4

Vamos simplificar cada parte:
  1. Primeira parte: $ 1 \cdot \sin z = z - \frac{z^3}{6} + \frac{z^5}{120} - \dots $
  2. Segunda parte: $ -z^2 \cdot \sin z = -z^3 + \frac{z^5}{6} - \frac{z^7}{120} + \dots $

Passo 5

Agora, somamos as duas partes:
(z - z^36 + z^5120 - dots) - (z^3 - z^56 + z^7120 - dots) = z - ( 16 + 1 ) z^3 + ( 1120 + 16 ) z^5 - dots
Simplificando os coeficientes:
= z - 76 z^3 + 21120 z^5 - dots

Passo 6

Observando a série final, podemos identificar os coeficientes $ a_n $ para cada potência de $ z^n $:
an
Então, o coeficiente $ a_3 $ é $ -\frac{7}{6} $.

Resposta

O valor de $ a_3 $ é $ -\frac{7}{6} $.

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