Se
é a série de potências de
sen
em torno de
, determine o valor de
.
a) 1
a) 1
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o valor de $ a_3 $ na série de potências de $ (1 - z^2) \sin z $ centrada em $ z_0 = 0 $. Isso envolve conceitos de séries de Taylor e manipulação de séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor da função $ \sin z $ em torno de 0. A série de Taylor de $ \sin z $ é:
Passo 3
Agora, precisamos multiplicar $ \sin z $ por $ (1 - z^2) $. Vamos fazer isso termo a termo usando a série que acabamos de escrever:
Substituindo a série de $ \sin z $:
Passo 4
Vamos simplificar cada parte:
- Primeira parte: $ 1 \cdot \sin z = z - \frac{z^3}{6} + \frac{z^5}{120} - \dots $
- Segunda parte: $ -z^2 \cdot \sin z = -z^3 + \frac{z^5}{6} - \frac{z^7}{120} + \dots $
Passo 5
Agora, somamos as duas partes:
Simplificando os coeficientes:
Passo 6
Observando a série final, podemos identificar os coeficientes $ a_n $ para cada potência de $ z^n $:
Então, o coeficiente $ a_3 $ é $ -\frac{7}{6} $.
Resposta
O valor de $ a_3 $ é $ -\frac{7}{6} $.