Sobre que faixa de pesos específicos um cilindro circular com peso específico uniforme \gamma_{\mathrm{x}} flutuará na água com as extremidades na horizontal se sua altura for igual ao seu diâmetro?

Passo 1

O enunciado pede para determinar para que valores do peso específico \gamma_{x} um cilindro circular de altura igual ao diâmetro D flutua na água com as faces circulares (extremidades) na horizontal. O conteúdo aqui é equilíbrio de corpo flutuante, usando o princípio de Arquimedes: peso do corpo igual ao peso do fluido deslocado.

Passo 2

Calcular o peso do cilindro. O volume do cilindro é
V = \text{área da base}\times\text{altura} = \Bigl(\frac{\pi D^{2}}{4}\Bigr)\,D = \frac{\pi D^{3}}{4}\,.á
Logo, seu peso é
W = \gamma_{x}\,V = \gamma_{x}\,\frac{\pi D^{3}}{4}\,.

Passo 3

Calcular o peso do fluido deslocado. Se o cilindro mergulha até a profundidade x (medida a partir da superfície), o volume deslocado é
V_{\text{desl}} = \text{área da base}\times x = \frac{\pi D^{2}}{4}\,xá
e o peso desse volume de água é
F_{b} = \gamma_{\mathrm{água}}\,V_{\text{desl}} = \gamma_{\mathrm{água}}\,\frac{\pi D^{2}}{4}\,x\,.áá

Passo 4

Escrever a condição de equilíbrio de flutuação (princípio de Arquimedes):
F_{b} = W \quad\Longrightarrow\quad \gamma_{\mathrm{água}}\,\frac{\pi D^{2}}{4}\,x = \gamma_{x}\,\frac{\pi D^{3}}{4}\,.á
Cancelando \pi D^{2}/4, vem
\gamma_{\mathrm{água}}\,x = \gamma_{x}\,D \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{\gamma_{x}}{\gamma_{\mathrm{água}}}\,D.áá

Passo 5

Para que o cilindro flutue com as extremidades na horizontal, a imersão x deve satisfazer
0 \le x \le D.
Substituindo x da fórmula:
0 \le \frac{\gamma_{x}}{\gamma_{\mathrm{água}}}\,D \le D \quad\Longrightarrow\quad 0 \le \frac{\gamma_{x}}{\gamma_{\mathrm{água}}} \le 1 \quad\Longrightarrow\quad 0 \le \gamma_{x} \le \gamma_{\mathrm{água}}.ááá

Resposta

O cilindro flutua com as faces circulares horizontais se, e somente se,
0 < \gamma_{x} < \gamma_{\mathrm{água}}.á

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