Sobre as constantes de molas quânticas. Desde a primeira vez que estudamos as forças elástica (
) fomos apresentados à "constante de dureza
" de uma mola sem muitas explicações sobre sua origem. Nas disciplinas de Física II e Mecânica Clássica você deve ter tido uma informação adicional de que ela estava relacionada com concavidade da energia potencial que restringia o movimento da partícula (
). A constância no valor de
aqui é para garantir que, obrigatoriamente, existe um e apenas um ponto de mínima energia dentro do intervalo
que a partícula é permitida se mover. Nós estudamos durante o último mês de aula uma teoria que descreve o comportamento dos átomos em termos de um pacote de ondas. Então é importante você saber como esse
é descrito explicitamente em termos do comprimento de onda de de Broglie. Esta questão tem exatamente este propósito. Considere um átomo com massa
vibrando com movimento harmônico simples em uma rede cristalina unidimensional (um fio de átomos).
a) Se o átomo absorve um fóton de comprimento de onda
quando faz uma transição do nível fundamental para o primeiro nível excitado, mostre que a constante de força da “mola” correspondente pode ser escrita como:
sendo
a energia de repouso do elétron.
Este resultado é muito revelador. Por exemplo, você pode entender agora porque os átomos são tão estáveis. Encontre os valores das constantes de mola
para os seguintes cenários:
b) Elétrons que podem ser excitados com luz visível (
).
c) Elétrons na camada K que podem ser excitados raios-
de
.
d) Próton dentro do núcleo que pode ser excitado com raios-
de
.
a) Se o átomo absorve um fóton de comprimento de onda
Este resultado é muito revelador. Por exemplo, você pode entender agora porque os átomos são tão estáveis. Encontre os valores das constantes de mola
b) Elétrons que podem ser excitados com luz visível (
c) Elétrons na camada K que podem ser excitados raios-
d) Próton dentro do núcleo que pode ser excitado com raios-
Passo 1
O enunciado pede para descrever a “constante de mola” quântica
de um átomo vibrando como um oscilador harmônico simples numa rede unidimensional, em função do comprimento de onda
do fóton absorvido na transição do nível fundamental ao primeiro excitado. O conteúdo principal envolve:
- Níveis de energia do oscilador harmônico quântico, em que
- A relação entre energia do fóton e comprimento de onda,
- A definição de constante de mola clássica
, - A energia de repouso do elétron (ou do próton)
.
Passo 2
Na transição do nível
para
do oscilador temos
Por outro lado, quem fornece essa energia é o fóton absorvido, logo
Isolando
obtemos
Como a constante de mola clássica é
substituindo
dá
Passo 3
Cálculo de
para elétrons excitados com luz visível
.
Usamos
Então
Usamos
Então
Passo 4
Cálculo de
para elétrons da camada K excitados por raios-X
.
Mantendo ,
Mantendo
Passo 5
Cálculo de
para um próton no núcleo excitado por raios-
.
Aqui usamos
Aqui usamos
Resposta
b)
c)
d)
c)
d)