Sobre as constantes de molas quânticas. Desde a primeira vez que estudamos as forças elástica ( F=-k \Delta x ) fomos apresentados à "constante de dureza k " de uma mola sem muitas explicações sobre sua origem. Nas disciplinas de Física II e Mecânica Clássica você deve ter tido uma informação adicional de que ela estava relacionada com concavidade da energia potencial que restringia o movimento da partícula ( k \equiv \frac{d^{2} V(x)}{d x^{2}} ). A constância no valor de k aqui é para garantir que, obrigatoriamente, existe um e apenas um ponto de mínima energia dentro do intervalo x que a partícula é permitida se mover. Nós estudamos durante o último mês de aula uma teoria que descreve o comportamento dos átomos em termos de um pacote de ondas. Então é importante você saber como esse k é descrito explicitamente em termos do comprimento de onda de de Broglie. Esta questão tem exatamente este propósito. Considere um átomo com massa m vibrando com movimento harmônico simples em uma rede cristalina unidimensional (um fio de átomos).
a) Se o átomo absorve um fóton de comprimento de onda \lambda quando faz uma transição do nível fundamental para o primeiro nível excitado, mostre que a constante de força da “mola” correspondente pode ser escrita como:
k=\left(\frac{2 \pi}{\lambda}\right)^{2} E_{0}
sendo E_{0} a energia de repouso do elétron.
Este resultado é muito revelador. Por exemplo, você pode entender agora porque os átomos são tão estáveis. Encontre os valores das constantes de mola k para os seguintes cenários:
b) Elétrons que podem ser excitados com luz visível ( \lambda \approx 500 \mathrm{~nm} ).
c) Elétrons na camada K que podem ser excitados raios- x de \lambda \approx 10 \AA.
d) Próton dentro do núcleo que pode ser excitado com raios- \gamma de \lambda \approx 10^{-3} \AA.

Passo 1

O enunciado pede para descrever a “constante de mola” quântica k de um átomo vibrando como um oscilador harmônico simples numa rede unidimensional, em função do comprimento de onda \lambda do fóton absorvido na transição do nível fundamental ao primeiro excitado. O conteúdo principal envolve:
  1. Níveis de energia do oscilador harmônico quântico, em que
E_n = \hbar\omega\,(n+\tfrac12),
  1. A relação entre energia do fóton e comprimento de onda,
E_{\text{fóton}} = \frac{hc}{\lambda},ó
  1. A definição de constante de mola clássica \;k = m\omega^2,
  2. A energia de repouso do elétron (ou do próton) \;E_0 = mc^2.

Passo 2

Na transição do nível n=0 para n=1 do oscilador temos
\Delta E = E_1 - E_0 = \hbar\omega.
Por outro lado, quem fornece essa energia é o fóton absorvido, logo
\hbar\omega = \frac{hc}{\lambda}.
Isolando \omega obtemos
\omega = \frac{2\pi c}{\lambda}.
Como a constante de mola clássica é
k = m\,\omega^2,
substituindo \omega
k = m\left(\frac{2\pi c}{\lambda}\right)^{2} = (mc^2)\,\left(\frac{2\pi}{\lambda}\right)^{2} = E_0\,\left(\frac{2\pi}{\lambda}\right)^{2}.

Passo 3

Cálculo de k para elétrons excitados com luz visível \lambda = 500\text{ nm}.
Usamos \;E_0 = m_e c^2 \approx 9{,}11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}\times(3,0\times10^{8}\,\mathrm{m/s})^2 \approx 8{,}2\times10^{-14}\,\mathrm{J}.
Então
k = \left(\frac{2\pi}{500\times10^{-9}\,\mathrm{m}}\right)^{2} \times 8{,}2\times10^{-14}\,\mathrm{J} \approx 13\,\mathrm{N/m}.

Passo 4

Cálculo de k para elétrons da camada K excitados por raios-X \lambda = 10\,\text{\AA}=1{,}0\times10^{-9}\,\mathrm{m}.
Mantendo E_0=8{,}2\times10^{-14}\,\mathrm{J},
k = \left(\frac{2\pi}{1{,}0\times10^{-9}}\right)^{2} \times 8{,}2\times10^{-14} \approx 3{,}2\times10^{6}\,\mathrm{N/m}.

Passo 5

Cálculo de k para um próton no núcleo excitado por raios- \gamma \lambda =10^{-3}\,\text{\AA}=1{,}0\times10^{-13}\,\mathrm{m}.
Aqui usamos E_0 = m_p c^2\approx 1{,}67\times10^{-27}\,\mathrm{kg}\times9{,}0\times10^{16}\,\mathrm{m^2/s^2} \approx1{,}5\times10^{-10}\,\mathrm{J}.
k = \left(\frac{2\pi}{1{,}0\times10^{-13}}\right)^{2} \times 1{,}5\times10^{-10} \approx 6\times10^{17}\,\mathrm{N/m}.

Resposta

b) k\approx 13\\ \mathrm{N/m}
c) k\approx 3{,}2\times10^{6}\\ \mathrm{N/m}
d) k\approx 6\times10^{17}\\ \mathrm{N/m}

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