Sobre uma função
derivável em todo
e injetora sabe-se que
Sabendo que
para todo
, o que pode ser concluído sobre a derivada da função definida por
? Podemos garantir que esta função possui inversa
definida em toda a imagem de
?
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função
derivável e injetora, com
para todo
. Definimos
e queremos estudar
e a inversibilidade de
.
Passo 2
Vamos calcular a derivada de
. Como
, usando a regra da diferença de funções, temos
.
Passo 3
Sabendo que
para todo
, concluímos que
ou seja,
é sempre negativo.
Passo 4
Como
em toda reta, isso implica que
é estritamente decrescente e, portanto, injetora. Além disso,
é contínua e monotônica, condição suficiente para garantir a existência de inversa contínua e derivável em toda a imagem
.
Resposta
Temos
, logo
é estritamente decrescente e injetora; portanto, existe sua inversa
definida sobre toda a imagem de
.