Sobre uma função f: R R derivável em todo x in R e injetora sabe-se que
llll f(-1)=2, & f(0)=1, & f(1)=2 / 5, & f(2)=1 / 10 f^prime(-1)=-3 / 2, & f^prime(0)=-2 / 3, & f^prime(1)=-2 / 5, & f^prime(2)=-1 / 10
Sabendo que f^prime(x)<0 para todo x in R, o que pode ser concluído sobre a derivada da função definida por g(x)=f(x)-x? Podemos garantir que esta função possui inversa g^-1 definida em toda a imagem de g?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f: Rto R derivável e injetora, com f'(x)<0 para todo x. Definimos g(x)=f(x)-x e queremos estudar g' e a inversibilidade de g.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de g. Como g(x)=f(x)-x, usando a regra da diferença de funções, temos
g'(x)=f'(x)-1
.

Passo 3

Sabendo que f'(x)<0 para todo x, concluímos que
g'(x)=f'(x)-1<0-1=-1<0
ou seja, g'(x) é sempre negativo.

Passo 4

Como g'(x)<0 em toda reta, isso implica que g é estritamente decrescente e, portanto, injetora. Além disso, g é contínua e monotônica, condição suficiente para garantir a existência de inversa contínua e derivável em toda a imagem g( R).

Resposta

Temos g'(x)=f'(x)-1< -1<0, logo g é estritamente decrescente e injetora; portanto, existe sua inversa g^-1 definida sobre toda a imagem de g.

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