Calcule o movimento de uma partícula de massa m que desloca-se sobre o eixo 0 x, sujeita a uma força F(t)=1 /(t+1)^2, sabendo que no instante t=0 ela está na origem e sua velocidade é v0=-1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a lei do movimento de uma partícula de massa m que se desloca no eixo Ox sob a ação da força F(t)=1(t+1)^2, com as condições iniciais x(0)=0 e v(0)=-1. Vamos usar a segunda lei de Newton, isto é, m,a=F(t), que vira uma EDO para a velocidade.

Passo 2

A segunda lei de Newton dá mdvdt=1(t+1)^2. Isolando dv em função de dt fica:
dv=1mdt(t+1)^2
Agora basta integrar essa expressão para obter v(t).

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral dv=1mintegraldt(t+1)^2
Daí surge
v(t)=-1m(t+1)+C

Passo 4

Usamos v(0)=-1 para achar a constante C:
-1=-1m(0+1)+Cimplies C=-1+1m
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v(t)=-1m(t+1)-1+1m

Passo 5

Para achar x(t), integramos v(t):
x(t)=integral v(t),dt= integrall(-1+1m-1m(t+1)r)dt
Separamos em termos:
x(t)=l(-1+1mr)t-1mintegraldtt+1+D
E como integraldtt+1=ln(t+1), vem
x(t)=l(1m-1r)t-1mln(t+1)+D

Passo 6

Finalmente, a condição x(0)=0
0=0-1mln1+Dimplies D=0
Portanto não há termo constante extra.

Passo 7

Resposta

A velocidade é v(t)=-1m(t+1)-1+1m e a posição é x(t)=l(1m-1r)t-tfrac1mln(t+1).

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