Calcule os limites (Explicite e justifique todos os cálculos.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve uma função racional quando $ x $ vai para o infinito. O que isso significa é que queremos saber o que acontece com a fração
conforme $ x $ fica cada vez maior. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre polinômios e como os termos de maior grau se comportam quando $ x $ cresce muito.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador da fração. No numerador, o termo de maior grau é $ x^{4} $ e no denominador é $ 7x^{4} $.
Passo 3
Quando $ x $ vai para o infinito, os termos de menor grau (como $ -3x^{2} $ e $ 5 $ no numerador, e $ -4x^{3} $ e $ 8 $ no denominador) se tornam insignificantes comparados aos termos de maior grau. Isso significa que, para valores muito grandes de $ x $, podemos simplificar a fração focando apenas nos termos de maior grau.
Passo 4
Simplificando a fração com os termos de maior grau, temos:
Resposta
Portanto, o limite quando $ x $ tende ao infinito é
.