Considere o cone regular com base de raio
e altura h. Supondo que
, determine
e h para que o volume do cone seja o maior possível.
(Dica: a fórmula do volume do cone regular é
.)
(Dica: a fórmula do volume do cone regular é
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um cone regular com raio da base $ R $ e altura $ h $, onde $ R + h = 100 $. Nosso objetivo é encontrar os valores de $ R $ e $ h $ que fazem com que o volume do cone seja o maior possível. Para isso, vamos usar conceitos de funções e otimização, especificamente derivadas para encontrar o máximo do volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação que temos: $ R + h = 100 $. Isso significa que, se conhecemos o valor de $ R $, podemos facilmente encontrar $ h $ e vice-versa. Vamos isolar $ h $:
Passo 3
Agora, vamos expressar o volume do cone em função de $ R $. A fórmula do volume do cone é:
Como já sabemos que $ h = 100 - R $, substituímos na fórmula:
Esse é o volume do cone expresso apenas em termos de $ R $.
Passo 4
Para encontrar o valor de $ R $ que maximiza o volume, vamos usar derivadas. A ideia é encontrar onde a derivada da função $ V® $ em relação a $ R $ é igual a zero, o que indica um ponto de máximo ou mínimo.
Primeiro, vamos calcular a derivada de $ V® $:
Derivando em relação a $ R $:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Podemos simplificar removendo o fator comum $ \frac{\pi}{3} $:
Fatorando $ R $:
Isso nos dá duas soluções:
- $ R = 0 $ (o que não faz sentido no contexto do problema)
- $ 200 - 3R = 0 $ → $ R = \frac{200}{3} $
Passo 5
Agora que encontramos $ R = \frac{200}{3} $, vamos encontrar o valor correspondente de $ h $ usando a relação $ h = 100 - R $:
Resposta
Para que o volume do cone seja o maior possível, o raio da base deve ser $ R = \frac{200}{3} $ unidades e a altura deve ser $ h = \frac{100}{3} $ unidades.