Considere o cone regular com base de raio R e altura h. Supondo que R+h=100, determine R e h para que o volume do cone seja o maior possível.
(Dica: a fórmula do volume do cone regular é V=pi R^2 h / 3.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um cone regular com raio da base $ R $ e altura $ h $, onde $ R + h = 100 $. Nosso objetivo é encontrar os valores de $ R $ e $ h $ que fazem com que o volume do cone seja o maior possível. Para isso, vamos usar conceitos de funções e otimização, especificamente derivadas para encontrar o máximo do volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação que temos: $ R + h = 100 $. Isso significa que, se conhecemos o valor de $ R $, podemos facilmente encontrar $ h $ e vice-versa. Vamos isolar $ h $:
R + h = 100

Passo 3

Agora, vamos expressar o volume do cone em função de $ R $. A fórmula do volume do cone é:
R
Como já sabemos que $ h = 100 - R $, substituímos na fórmula:
V = pi R^2 h3
Esse é o volume do cone expresso apenas em termos de $ R $.

Passo 4

Para encontrar o valor de $ R $ que maximiza o volume, vamos usar derivadas. A ideia é encontrar onde a derivada da função $ V® $ em relação a $ R $ é igual a zero, o que indica um ponto de máximo ou mínimo.
Primeiro, vamos calcular a derivada de $ V® $:
R
Derivando em relação a $ R $:
V(R)
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
R
Podemos simplificar removendo o fator comum $ \frac{\pi}{3} $:
V(R)
Fatorando $ R $:
V(R) = pi3 (100R^2 - R^3)
Isso nos dá duas soluções:
  1. $ R = 0 $ (o que não faz sentido no contexto do problema)
  2. $ 200 - 3R = 0 $ → $ R = \frac{200}{3} $

Passo 5

Agora que encontramos $ R = \frac{200}{3} $, vamos encontrar o valor correspondente de $ h $ usando a relação $ h = 100 - R $:
R = 2003

Resposta

Para que o volume do cone seja o maior possível, o raio da base deve ser $ R = \frac{200}{3} $ unidades e a altura deve ser $ h = \frac{100}{3} $ unidades.

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