Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas:
(g) A função
é diferenciável em todos os pontos do domínio.
(g) A função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para gente dizer se a afirmação “(g) A função $ f(x, y) = \frac{e^{x y}}{x{2}+y{2}+1} $ é diferenciável em todos os pontos do domínio” é verdadeira ou falsa. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
onde a função está definida. Olhando para $ f(x, y) = \frac{e^{x y}}{x{2}+y{2}+1} $, percebemos que o denominador
nunca é zero, já que
e
são sempre positivos ou zero, então
. Portanto, a função está definida para todos os números reais
e
.
Passo 3
Agora, para uma função ser diferenciável em todos os pontos do domínio, ela precisa ter derivadas parciais contínuas em todo esse domínio. Vamos analisar as partes da função:
-
é uma função exponencial composta por um polinômio, que é suave e tem derivadas contínuas em todo lugar. - O denominador
é um polinômio, também suave e com derivadas contínuas. - A divisão de duas funções diferenciáveis (com o denominador nunca zero) resulta em uma função diferenciável.
Resposta
Verdadeiro.