Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas:
(g) A função f(x, y)=e^x yx^2+y^2+1 é diferenciável em todos os pontos do domínio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para gente dizer se a afirmação “(g) A função $ f(x, y) = \frac{e^{x y}}{x{2}+y{2}+1} $ é diferenciável em todos os pontos do domínio” é verdadeira ou falsa. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares (x, y) onde a função está definida. Olhando para $ f(x, y) = \frac{e^{x y}}{x{2}+y{2}+1} $, percebemos que o denominador f(x, y) = e^x yx^2+y^2+1 nunca é zero, já que x^2+y^2+1 e x^2 são sempre positivos ou zero, então y^2. Portanto, a função está definida para todos os números reais x^2+y^2+1 >= 1 e x.

Passo 3

Agora, para uma função ser diferenciável em todos os pontos do domínio, ela precisa ter derivadas parciais contínuas em todo esse domínio. Vamos analisar as partes da função:
  • e^xy é uma função exponencial composta por um polinômio, que é suave e tem derivadas contínuas em todo lugar.
  • O denominador x^2+y^2+1 é um polinômio, também suave e com derivadas contínuas.
  • A divisão de duas funções diferenciáveis (com o denominador nunca zero) resulta em uma função diferenciável.

Resposta

Verdadeiro.

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