Sobre a função
z=x-y2 y-x
responda:
(a) Descreva e esboce o domínio da função dada no plano-xy.
(b) Descreva algebricamente, por meio de equações, e esboce o conjunto de nível zero da função dada.
(c) Faça o estudo do sinal da função em questão, ou seja, descreva detalhadamente os possíveis (x, y) onde z=x-y2 y-x é positiva, e os pares (x, y) onde a mesma expressão é negativa.

Passo 1

Beleza, temos a função de duas variáveis
z(x,y)=x-y2,y - x
e as três tarefas:
(a) achar e desenhar o domínio,
(b) achar e desenhar o nível zero z=0,
(c) estudar onde z>0 e onde z<0.
Conteúdo: domínio de função racional, conjunto de nível, estudo de sinais de quociente. Vamos usar:
  1. Domínio = retirar pontos onde o denominador é zero.
  2. Nível z=0 → numerador zero, mas mantendo denom. ≠0.
  3. Sinal de tfracAB segue sign(A)timessign(B).

Passo 2

(a) Domínio
Para não dividir por zero, exigimos
2,y - x neq 0
Isto é a reta x=2y fora do domínio.
Logo
Domínio D=(x,y)in R^2mid xneq 2y í
Sketch: no plano xy, trace a reta x=2y (ou y=tfrac12x) com traço e “risque” ela; todo resto do plano está liberado.

Passo 3

(b) Nível zero ( z=0)
Para ter z=0, basta o numerador ser zero e o denominador não:
x - y = 0 e 2y - x neq 0
Da primeira sai x=y. Substituindo dá 2y - y = y neq 0, ou seja yneq0.
Então
(x,y)mid x=y,;yneq0
é a reta x=y menos a origem. No desenho, trace a reta x=y pontilhada e risque o ponto (0,0).

Passo 4

(c) Estudo de sinal
Defina
N=x-y, D=2y-x
Então z>0 se N e D tiverem o mesmo sinal, e z<0 se tiverem sinais opostos. As duas retas x=y e x=2y dividem o plano em 4 regiões:
  1. Região entre x=y e x=2y com x>y e 2y>x.
    Aqui N>0, D>0 z>0.
  2. Região onde x>y e 2y<x.
    Aqui N>0, D<0 z<0.
  3. Região onde x<y e 2y>x.
    Aqui N<0, D>0 z<0.
  4. Região onde x<y e 2y<x.
    Aqui N<0, D<0 z>0.
Em forma de desigualdades:
z>0Leftrightarrow l(x>y wed>= x<2yr),lor,(x<y wed>= x>2y),
z<0Leftrightarrow l(x>y wed>= x>2yr),lor,(x<y wed>= x<2y)

Resposta

(a) D=(x,y)in R^2mid xneq2y. No esboço, riscamos a reta x=2y.
(b) Nível zero: (x,y)mid x=y,;yneq0, ou seja a reta x=y sem o ponto (0,0).
(c)
  • z>0 em (x,y)mid x>y e x<2ycup(x,y)mid x<y e x>2y.
  • z<0 em (x,y)mid x>y e x>2ycup(x,y)mid x<y e x<2y.

Exercícios relacionados