Sobre a função
responda:
(a) Descreva e esboce o domínio da função dada no plano-xy.
(b) Descreva algebricamente, por meio de equações, e esboce o conjunto de nível zero da função dada.
(c) Faça o estudo do sinal da função em questão, ou seja, descreva detalhadamente os possíveis
onde
é positiva, e os pares
onde a mesma expressão é negativa.
(a) Descreva e esboce o domínio da função dada no plano-xy.
(b) Descreva algebricamente, por meio de equações, e esboce o conjunto de nível zero da função dada.
(c) Faça o estudo do sinal da função em questão, ou seja, descreva detalhadamente os possíveis
Passo 1
Beleza, temos a função de duas variáveis
e as três tarefas:
(a) achar e desenhar o domínio,
(b) achar e desenhar o nível zero ,
(c) estudar onde e onde
.
Conteúdo: domínio de função racional, conjunto de nível, estudo de sinais de quociente. Vamos usar:
(a) achar e desenhar o domínio,
(b) achar e desenhar o nível zero
(c) estudar onde
Conteúdo: domínio de função racional, conjunto de nível, estudo de sinais de quociente. Vamos usar:
- Domínio = retirar pontos onde o denominador é zero.
- Nível
→ numerador zero, mas mantendo denom. ≠0. - Sinal de
segue .
Passo 2
(a) Domínio
Para não dividir por zero, exigimos
Para não dividir por zero, exigimos
Isto é a reta
fora do domínio.
Logo
Logo
Sketch: no plano
, trace a reta
(ou
) com traço e “risque” ela; todo resto do plano está liberado.
Passo 3
(b) Nível zero (
)
Para ter , basta o numerador ser zero e o denominador não:
Para ter
Da primeira sai
. Substituindo dá
, ou seja
.
Então
Então
é a reta
menos a origem. No desenho, trace a reta
pontilhada e risque o ponto
.
Passo 4
(c) Estudo de sinal
Defina
Defina
Então
se
e
tiverem o mesmo sinal, e
se tiverem sinais opostos. As duas retas
e
dividem o plano em 4 regiões:
- Região entre
e com e .
Aqui, ⇒ . - Região onde
e .
Aqui, ⇒ . - Região onde
e .
Aqui, ⇒ . - Região onde
e .
Aqui, ⇒ .
Em forma de desigualdades:
Resposta
(a)
. No esboço, riscamos a reta
.
(b) Nível zero:
, ou seja a reta
sem o ponto
.
(c)
-
em . -
em .