Considere a função
Determine os pontos
do interior do domínio de
nos quais as derivadas parciais nas direções
e
coincidem, ou seja,
. Em seguida, mostre que
é negativo nos pontos encontrados.
Passo 1
E aí! O enunciado diz que temos
e que o domínio “interior” é onde a raiz faz sentido sem dar zero no denominador, ou seja
O que a questão pede é:
- achar todos os pontos
desse domínio em que as derivadas parciais são iguais, isto é
; - mostrar que, nesses pontos, o valor de
é negativo.
Conteúdo envolvido:
- derivadas parciais;
- regra do quociente;
- regra da cadeia;
- raciocínio sobre domínio;
- análise de sinal.
Passo 2
Vamos calcular as duas derivadas parciais usando a forma
com
- Para
usamos
–
.
–
Então
–
Então
- Para
temos
–
.
–
Logo
–
Logo
Passo 3
Agora impomos
:
Multiplicando ambos os lados por
(que é positivo no domínio) dá
Mas ainda temos que respeitar
. Substituindo
:
Portanto os pontos são todos aqueles da forma
Passo 4
Falta mostrar que
é negativo nesses pontos. Substituindo
:
Como
, temos
e
. Logo
Resposta
Os pontos do interior do domínio em que
são todos os
tais que
Em cada um deles o valor de
é negativo.