Considere a função
z=f(x, y)=x-yraiz2 y-x
Determine os pontos (x, y) do interior do domínio de f(x, y) nos quais as derivadas parciais nas direções x e y coincidem, ou seja, fx(x, y)=fy(x, y). Em seguida, mostre que z=f(x, y) é negativo nos pontos encontrados.

Passo 1

E aí! O enunciado diz que temos
f(x,y)=x-yraiz2y-x
e que o domínio “interior” é onde a raiz faz sentido sem dar zero no denominador, ou seja
2y - x > 0
O que a questão pede é:
  1. achar todos os pontos (x,y) desse domínio em que as derivadas parciais são iguais, isto é
    fx(x,y)=fy(x,y);
  2. mostrar que, nesses pontos, o valor de z=f(x,y) é negativo.
Conteúdo envolvido:
  • derivadas parciais;
  • regra do quociente;
  • regra da cadeia;
  • raciocínio sobre domínio;
  • análise de sinal.

Passo 2

Vamos calcular as duas derivadas parciais usando a forma f=tfracgh com
g(x,y)=x-y, h(x,y)=raiz2y-x=(2y-x)^1/2
  1. Para fx usamos
fx=gx,h - g,hxh^2
gx=1.
hx=tfrac12(2y-x)^-1/2cdot(-1)=-12(2y-x)^-1/2
Então
fx =1cdot(2y-x)^1/2 ;-;(x-y)l(-tfrac12(2y-x)^-1/2r) (2y-x) =3y - x2,(2y-x)^3/2
  1. Para fy temos
fy=gy,h - g,hyh^2
gy=-1.
hy=tfrac12(2y-x)^-1/2cdot2=(2y-x)^-1/2
Logo
fy =-1cdot(2y-x)^1/2 ;-;(x-y),(2y-x)^-1/2 (2y-x) =-y(2y-x)^3/2

Passo 3

Agora impomos fx=fy:
3y - x2,(2y-x)^3/2 ;=; -y(2y-x)^3/2
Multiplicando ambos os lados por 2,(2y-x)^3/2 (que é positivo no domínio) dá
3y - x = -2y Longrightarrow 5y = x
Mas ainda temos que respeitar 2y - x>0. Substituindo x=5y:
2y - 5y = -3y > 0 Longrightarrow y < 0
Portanto os pontos são todos aqueles da forma
(x,y)=(5y,y), com y<0

Passo 4

Falta mostrar que z=f(x,y) é negativo nesses pontos. Substituindo x=5y:
z = x-yraiz2y-x = 5y - yraiz2y - 5y = 4yraiz-3y
Como y<0, temos 4y<0 e raiz-3y>0. Logo
z = 4yraiz-3y < 0

Resposta

Os pontos do interior do domínio em que ,fx=fy são todos os (x,y) tais que
x = 5y, y<0
Em cada um deles o valor de z=f(x,y) é negativo.

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