Utilize o teorema de Green, se possível, para expressar cada uma das integrais de linha abaixo por meio de uma integral dupla. Se não for possível utilizar o teorema de Green, justifique o por que.
Se C for a fronteira da região limitada por y=x^4+1 e y=2 orientada no sentido anti-horário, então
integralC x^-1 e^y d x+(e^y ln x+2 x) d y=

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: temos a integral de linha
integralC x^-1e^y,dx ;+;l(e^yln x ;+;2xr),dy
onde C é a curva que fecha a região entre y=x^4+1 e y=2, orientada anti-horário.
Conteúdo: Teorema de Green (que troca uma integral de linha fechada por uma integral dupla sobre a região interna).
O que precisamos para usar o Teorema de Green:
  1. Identificar P(x,y)=x^-1e^y e Q(x,y)=e^yln x+2x.
  2. Verificar se P e Q têm derivadas parciais contínuas numa região aberta contendo toda a área limitada por C.
  3. A região deve ser simplesmente conexa (sem “buracos”).

Passo 2

Lembrando o Teorema de Green: se P e Q são C^1 (têm derivadas contínuas) num aberto que contém a região D limitada por C, então
ointC P,dx + Q,dy ;=;integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Ou seja, a gente trocaria a integral de linha por uma integral dupla de partial Qpartial x-partial Ppartial y.

Passo 3

Vamos checar as hipóteses:
  • P(x,y)=x^-1e^y exige xneq 0.
  • Q(x,y)=e^yln x+2x exige ln x, logo x>0.
    Logo o campo vetorial só faz sentido (e tem derivadas contínuas) para x>0.
    Mas a região limitada pelas curvas y=x^4+1 e y=2 vai de x=-1 até x=1 (interseções em x=pm1). Isso inclui pontos com x<=0, onde ln x nem existe e x^-1 dá problema em x=0.
    Portanto NÃO temos um campo definido e C^1 em todo um aberto que contenha a região inteira.

Resposta

Não dá para aplicar o Teorema de Green, porque o campo l(P,Qr)=(x^-1e^y,;e^yln x+2x) não está sequer definido para x<=0, mas a região limitada por y=x^4+1 e y=2 inclui valores de x nessa faixa.

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