Utilize o teorema de Green, se possível, para expressar cada uma das integrais de linha abaixo por meio de uma integral dupla. Se não for possível utilizar o teorema de Green, justifique o por que.
Se
for a fronteira da região limitada por
e
orientada no sentido anti-horário, então
Se
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: temos a integral de linha
onde
é a curva que fecha a região entre
e
, orientada anti-horário.
Conteúdo: Teorema de Green (que troca uma integral de linha fechada por uma integral dupla sobre a região interna).
O que precisamos para usar o Teorema de Green:
Conteúdo: Teorema de Green (que troca uma integral de linha fechada por uma integral dupla sobre a região interna).
O que precisamos para usar o Teorema de Green:
- Identificar
e . - Verificar se
e têm derivadas parciais contínuas numa região aberta contendo toda a área limitada por . - A região deve ser simplesmente conexa (sem “buracos”).
Passo 2
Lembrando o Teorema de Green: se
e
são
(têm derivadas contínuas) num aberto que contém a região
limitada por
, então
Ou seja, a gente trocaria a integral de linha por uma integral dupla de
.
Passo 3
Vamos checar as hipóteses:
-
exige . -
exige , logo .
Logo o campo vetorial só faz sentido (e tem derivadas contínuas) para.
Mas a região limitada pelas curvase vai de até (interseções em ). Isso inclui pontos com , onde nem existe e dá problema em .
Portanto NÃO temos um campo definido eem todo um aberto que contenha a região inteira.
Resposta
Não dá para aplicar o Teorema de Green, porque o campo
não está sequer definido para
, mas a região limitada por
e
inclui valores de
nessa faixa.